关于不同秩自由群非同构性证明的正确性疑问（涉及ZFC独立命题）

最近读Johnson的《Topics in the Theory of Group Presentations》的时候，在通过泛性质定义自由群之后，看到了这么一个定理：

定理：不同秩的自由群互不同构。

书中给出的证明是这样的：

设$F$是基于子集$X$的自由群，其中$|X|= \omega$，$G$是任意群。根据泛性质定义自由群的核心逻辑，从$X$到$G$的映射与从$F$到$G$的同态是一一对应的。因此，从$F$到$\mathbb{Z}_2$的同态恰好有$2^{{\omega}$个。由于这个数量在同构下是不变的，所以$2}{\omega}$——进而秩$\omega$——由$F$的同构类唯一确定。

这里我有点困惑：作者是不是默认了**如果$2^{|X|}=2{|Y|}$，那么$|X|=|Y|$**这个结论？

我之前了解到，这个命题其实是独立于ZFC公理系统的——也就是说它既不能被ZFC证明，也不能被ZFC证伪。那是不是意味着这个证明其实存在漏洞？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Numox