关于线性势阱定态微分方程变量替换的疑问

别担心，我来一步步拆解这个变量替换的过程，你之前的推导问题主要出在链式法则的应用和变量关系的细节上，咱们从头理清楚：

首先先明确原方程（这里其实是常微分方程，用全导符号更准确）：
$$\dfrac{d^2 f}{dx^2} - 2(x - c)f(x) =0$$

Sakurai用的替换是 $z = 2^{1/3}(x - c)$，第一步先把x用z表示出来：
$$x = 2^{-1/3}z + c$$
（你之前写成了$x = 2^{-1/3}z - c$，这是第一个小错误，符号搞反啦）

接下来核心是用链式法则计算$\frac{d^2 f}{dz^2}$：

1. 先算一阶导数：
   $$\frac{df}{dz} = \frac{df}{dx} \cdot \frac{dx}{dz}$$
   从替换式能算出$\frac{dx}{dz} = 2^{-1/3}$，所以：
   $$\frac{df}{dz} = 2^{-1/3} \cdot \frac{df}{dx}$$

2. 再算二阶导数，对z再次求导，继续用链式法则：
   $$\frac{d^2 f}{dz^2} = \frac{d}{dz}\left(2^{-1/3} \cdot \frac{df}{dx}\right) = 2^{-1/3} \cdot \frac{d}{dz}\left(\frac{df}{dx}\right)$$
   这里$\frac{d}{dz}\left(\frac{df}{dx}\right)$需要再次转换为对x的导数：
   $$\frac{d}{dz}\left(\frac{df}{dx}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right) \cdot \frac{dx}{dz} = \frac{d^2 f}{dx^2} \cdot 2^{-1/3}$$
   所以二阶导数最终是：
   $$\frac{d^2 f}{dz^2} = 2^{-1/3} \cdot 2^{-1/3} \cdot \frac{d^2 f}{dx^2} = 2^{-2/3} \cdot \frac{d^2 f}{dx^2}$$

现在把原方程里的$\frac{d^2 f}{dx^{2}$解出来：$\frac{d}2 f}{dx^2} = 2(x - c)f(x)$，代入到二阶导数的表达式中：
$$\frac{d^2 f}{dz^2} = 2^{-2/3} \cdot 2(x - c)f(x)$$

再用替换式把$x - c$换成z：$x - c = 2^{-1/3}z$，代入后计算系数：
$$2^{-2/3} \times 2 \times 2^{-1/3} = 2^{(-2/3 + 1 - 1/3)} = 2^0 = 1$$

最后，关于$f(x)$的问题：当我们完成变量替换后，f的自变量已经从x变成了z，$f(x) = f(2^{-1/3}z + c)$，我们可以直接把它记作$f(z)$（这是变量替换中函数重命名的常规操作，本质上是同一个函数，只是自变量换了符号）。

把这些整理到一起，就得到了：
$$\dfrac{d^2 f}{dz^2} - zf(z) =0$$

这样就和Sakurai的结果一致啦，接下来就可以用Airy函数来解这个方程了~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RicardoMM