关于GF(2)上线性函数均为奇偶校验函数的证明问询

嗨，我最近在看一篇讨论单例函数属性测试算法的文章时，碰到了一个搞不懂的结论，想请教下各位大佬：

首先先明确几个定义：

1. 单例函数：一个函数 $f:{0,1}^n \rightarrow{0,1}$ 是单例函数，当且仅当存在某个 $i\in[n]$，使得对任意 $x\in{0,1}^n$，要么 $f(x)=x_i$，要么 $f(x)=\bar x_i$（也就是$x_i$的取反）。
2. 奇偶校验函数：文章里说，每个从 $(\mathbb Z_2)^n$ 到 $\mathbb Z_2$ 的线性函数都是奇偶校验函数——具体来说，就是存在一个子集 $S\subset[n]$，使得对任意 $x\in (\mathbb Z_2)^n$，$f(x)=\bigoplus_{i\in S} x_i$（这里的$\bigoplus$是GF(2)域中的加法，也就是我们常说的异或操作，它的结果为1当且仅当输入中1的个数是奇数）。

我目前的困惑是：为什么所有GF(2)上的n元线性函数都能表示成这种奇偶校验的形式？我隐约觉得这和$\mathbb Z_2$域里加减运算的定义（毕竟GF(2)里加法和减法是一回事），还有异或的性质有关，但就是没法梳理出一个严谨的证明过程。

有没有大佬能帮我一步步推导证明这个结论呀？万分感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者FAF