如何通过旋转矩阵程序化实现相机视角旋转以固定局部坐标系

以下是表示局部坐标系的初始向量集合：

_初始状态

使用任意旋转矩阵R，在3D空间中对这些向量进行旋转后，得到如下视觉效果：

_{经R旋转后的标准视觉效果}

我们希望保持RGB向量在视觉上固定，通过旋转相机视角，让最终画面呈现世界坐标系相对于局部坐标系旋转后的效果：

_{经R旋转后的预期视觉效果}

如何借助旋转矩阵（必要时可转换为欧拉角、四元数或轴角表示）程序化实现这一操作？

核心逻辑是对相机应用旋转矩阵R的逆变换，以此抵消向量旋转的视觉变化，让RGB向量保持视觉固定，同时呈现世界坐标系相对局部旋转的效果。具体步骤如下：

1. 计算逆旋转矩阵 #

旋转矩阵属于正交矩阵，其逆矩阵等于自身的转置矩阵，无需复杂计算：

R^{-1} = R^T

直接对R执行转置操作，即可得到相机需要的旋转矩阵。

2. 转换为其他旋转表示（可选） #

若你的渲染引擎/框架偏好使用欧拉角、四元数或轴角，可按以下方式转换：

• 转四元数：将逆旋转矩阵R^{-1}转换为四元数Q_inv；单位四元数的逆等于其共轭，也可直接从逆矩阵完成转换。
• 转欧拉角：将R^{-1}分解为欧拉角（注意规避万向锁问题，需匹配引擎指定的旋转顺序，如XYZ、ZYX等）。
• 转轴角：从R^{-1}中提取旋转轴和角度，公式为：

  \theta = \arccos\left(\frac{tr(R^{-1}) - 1}{2}\right)
  

  旋转轴u可通过矩阵的反对称部分求解。

3. 应用到相机变换 #

将计算得到的逆旋转应用到相机姿态：

• 若相机使用模型视图矩阵，将逆旋转矩阵R^{-1}与原相机视图矩阵相乘（注意矩阵乘法顺序，通常为逆旋转矩阵左乘原视图矩阵，具体需遵循坐标系约定）。
• 若使用四元数控制相机姿态，直接将Q_inv赋值给相机旋转四元数，或与原相机四元数相乘（根据旋转合成顺序调整）。
• 若采用欧拉角控制，将转换后的欧拉角设置为相机的旋转参数。

逻辑验证 #

向量旋转操作是v' = R * v，相机应用逆旋转后，观察到的向量为R^{-1} * v' = R^{-1} * R * v = v，因此RGB向量在画面中保持固定，而世界坐标系的其他元素则呈现出相对局部坐标系旋转后的视觉效果，与预期一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kenn Sebesta