使用scipy.fsolve求解Blasius问题时遇ValueError报错求助

问题背景 #

求解Blasius问题时，使用某YouTube教程8:35处的代码，所有print语句均可正常输出结果，但调用fsolve时触发如下ValueError：

xpp0 = fsolve(blas0, x0=0.1, args=(eta), xtol=1e-6)
       ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
...
ValueError: setting an array element with a sequence. The requested 
array has an inhomogeneous shape after 1 dimensions. The detected 
shape was (3,) + inhomogeneous part.

尝试过降级numpy/scipy、给eta添加dtype=object、改用root函数等方法，均未解决问题。当前环境依赖版本：

Package         Version
--------------- -----------
contourpy       1.3.0
CoolProp        6.6.0
cycler          0.12.1
fonttools       4.53.1
kiwisolver      1.4.7
matplotlib      3.9.2
numpy           2.1.1
packaging       24.1
pandas          2.2.2
pillow          10.4.0
pip             24.2
pyparsing       3.1.4
PyQt6           6.7.1
PyQt6-Qt6       6.7.2
PyQt6_sip       13.8.0
python-dateutil 2.9.0.post0
pytz            2024.2
scipy           1.14.1
six             1.16.0
tzdata          2024.1

问题原因 #

1. 标量参数的数组化处理：在numpy 2.x + scipy 1.14.1的组合下，fsolve会将标量初始值x0=0.1包装为数组传递给目标函数blas0。而blas0函数中，初始条件f0=(0., 0., x)会因x是数组，变成包含标量和数组的混合序列，导致odeint返回的结果形状异常，最终触发形状不匹配的错误。
2. args参数写法错误：args=(eta)未添加逗号，Python会将其解析为eta数组本身而非包含eta的元组。虽然print调用时参数传递正常，但fsolve对额外参数的解析逻辑可能引发潜在的参数传递错位，加剧形状异常问题。

解决方法 #

方法1：适配数组输入，向量化目标函数 #

修改blas0函数，使其支持处理数组类型的x参数：

def blas0(x, ts):
    x = np.asarray(x)
    results = []
    for xi in x:
        f0 = (0., 0., xi)
        f = odeint(blas, f0, ts)
        results.append(1. - f[-1, 1])
    return np.array(results)

同时修正args写法：

xpp0 = fsolve(blas0, x0=0.1, args=(eta,), xtol=1e-6)

方法2：改用标量优化专用函数 #

由于这是标量优化问题，使用root_scalar替代fsolve更合适，无需适配数组输入：

from scipy.optimize import root_scalar

sol = root_scalar(blas0, args=(eta,), x0=0.1, method='newton')
xpp0 = sol.root

方法3：强制传递标量参数 #

通过lambda包装blas0，确保x始终以标量形式传递：

xpp0 = fsolve(lambda x: blas0(float(x), eta), x0=0.1, xtol=1e-6)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Heat Transfer