连续型随机变量X的概率计算、分布函数求解及推导错误排查

首先咱们先把你计算CDF时的错误修正过来——你在计算定积分的时候漏了代入下限的项，导致结果出现负数，这明显不符合CDF的非负性和单调性要求。

正确的CDF计算应该是这样的：
对于连续型随机变量X，其概率密度函数$g(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2}\sin x, & x\in(0,\pi) \
0, & \text{其他}
\end{cases}$

• 当$t\leq0$时，$F_X(t)=\mathbb{P}(X\leq t)=\int_{-\infty}^t g(x)dx=0$
• 当$t\geq\pi$时，$F_X(t)=\mathbb{P}(X\leq t)=\int_{-\infty}^t g(x)dx=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\sin xdx=1$
• 当$0<t<\pi$时，
  $$
  F_X(t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{2}\sin xdx = -\frac{1}{2}\cos x\bigg|_{0}^{t} = \left(-\frac{1}{2}\cos t\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos0\right)=\frac{1-\cos t}{2}
  $$
  这样代入$t=0$时得0，$t=\pi$时得1，完全符合CDF单调递增、取值在[0,1]之间的性质，这才是正确的结果。

问题1：计算$\mathbb{P}(\sin^2X\leq\frac{1}{2})$ #

首先解不等式$\sin^2x\leq\frac{1}{2}$，两边开平方得$|\sin x|\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$。

因为X的取值范围是$(0,\pi)$，在这个区间内$\sin x\geq0$，所以不等式简化为$\sin x\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$。

在$(0,\pi)$内，$\sin x\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$的解为$x\in(0,\frac{\pi}{4}]\cup[\frac{3\pi}{4},\pi)$。

接下来计算这个区间的概率：
$$
\mathbb{P}(\sin^{2X\leq\frac{1}{2})=\int_{0}}{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}\sin xdx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}\frac{1}{2}\sin xdx
$$

分别计算两个积分：

• 第一个积分：$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}\sin xdx=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$
• 第二个积分：$\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}\frac{1}{2}\sin xdx=F_X(\pi)-F_X(\frac{3\pi}{4})=1-\frac{1-\cos\frac{3\pi}{4}}{2}=1-\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$

把两个结果相加，得到：
$$
\mathbb{P}(\sin^2X\leq\frac{1}{2})=\frac{2-\sqrt{2}}{4}+\frac{2-\sqrt{2}}{4}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}
$$

问题2：求随机变量$Y=\max\left{\sin X,\frac{1}{2}\right}$的分布函数 #

分布函数$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}\left(\max\left{\sin X,\frac{1}{2}\right}\leq y\right)$，根据最大值函数的性质，$\max{A,B}\leq y$当且仅当$A\leq y$且$B\leq y$，我们分三种情况讨论：

情况1：$y<\frac{1}{2}$ #

此时$\frac{1}{2}\leq y$不成立，所以$\max\left{\sin X,\frac{1}{2}\right}\leq y$是不可能事件，因此$F_Y(y)=0$。

情况2：$\frac{1}{2}\leq y\leq1$ #

此时$\frac{1}{2}\leq y$成立，所以$\max\left{\sin X,\frac{1}{2}\right}\leq y$等价于$\sin X\leq y$。

在$X\in(0,\pi)$的范围内，$\sin X\leq y$的解为$x\in(0,\arcsin y]\cup[\pi-\arcsin y,\pi)$，对应的概率为：
$$
F_Y(y)=\mathbb{P}(\sin X\leq y)=F_X(\arcsin y) + \left(F_X(\pi)-F_X(\pi-\arcsin y)\right)
$$

代入正确的CDF公式：
$$
F_X(\arcsin y)=\frac{1-\cos(\arcsin y)}{2}=\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{2}
$$
$$
F_X(\pi-\arcsin y)=\frac{1-\cos(\pi-\arcsin y)}{2}=\frac{1+\cos(\arcsin y)}{2}=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{2}
$$

因此：
$$
F_Y(y)=\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{2} + \left(1-\frac{1+\sqrt{1-y^{2}}{2}\right)=\frac{1-\sqrt{1-y}2}+2-1-\sqrt{1-y^{2}}{2}=\frac{2-2\sqrt{1-y}2}}{2}=1-\sqrt{1-y^2}
$$

情况3：$y>1$ #

因为$\sin X\leq1<y$，且$\frac{1}{2}<y$，所以$\max\left{\sin X,\frac{1}{2}\right}\leq y$是必然事件，因此$F_Y(y)=1$。

综上，$Y$的分布函数为：
$$
F_Y(y)=\begin{cases}
0, & y<\frac{1}{2} \
1-\sqrt{1-y^2}, & \frac{1}{2}\leq y\leq1 \
1, & y>1
\end{cases}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者thefool