关于射影曲线非奇异点切线方程的证明问询

这是《Rational Points on Elliptic Curves》里的问题A.5：

设$C: F(X, Y, Z) = 0$是由齐次多项式$F \in \mathbb C[X, Y, Z]$定义的射影曲线，$P \in \mathbb P^2$是射影平面上的一个点。

若$P$是$C$的非奇异点，证明$C$在$P$点的切线方程为：
$$\frac{\partial F}{\partial X}(P) X+\frac{\partial F}{\partial Y}(P) Y+\frac{\partial F}{\partial Z}(P) Z=0.$$

我已经证出了下面几个关键结论：

• $F$的三个偏导数都是次数为$d-1$的齐次多项式（$d$是$F$的次数）
• 欧拉齐次函数恒等式成立：$X \frac{\partial F}{\partial X}+Y \frac{\partial F}{\partial Y}+Z \frac{\partial F}{\partial Z} = d \cdot F(X, Y, Z)$
• $P$是$C$的奇异点当且仅当$\frac{\partial F}{\partial X}(P)=\frac{\partial F}{\partial Y}(P)=\frac{\partial F}{\partial Z}(P)=0$

我觉得这些结论已经足够完成证明了，但不知道怎么把过程写得严谨正式。有没有大佬能给点提示？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Clyde Kertzer