如何从透视投影的3D平面获取点的归一化坐标？

核心思路 #

通过构建矩形平面的局部坐标系，将点C投影到平面后转换到该局部坐标系，即可得到符合要求的归一化(u, v)坐标：

• 以P2为局部坐标系原点，P2→P1为u轴方向，P2→P3为v轴方向
• 计算点C到矩形平面的投影点C_proj
• 将C_proj相对于P2的向量，分别在u轴和v轴上投影并归一化，得到最终坐标

数学推导 #

1. 定义基础向量

   • u轴方向向量：u_axis = P1 - P2
   • v轴方向向量：v_axis = P3 - P2
   • 平面法向量：n = u_axis × v_axis（叉乘运算）

2. 计算投影点C_proj
   利用点到平面的投影公式：

   t = (n · (C - P2)) / (n · n)
   C_proj = C - t * n
   

   其中t是点C到平面的垂直距离与法向量模长的比值。

3. 计算归一化坐标(u, v)
   计算投影点相对于P2的向量：vec = C_proj - P2

   • u值：u = (vec · u_axis) / (u_axis · u_axis)（点积除以u轴向量的模长平方实现归一化）
   • v值：v = (vec · v_axis) / (v_axis · v_axis)

Python实现 #

纯Python实现（无第三方依赖） #

def compute_normalized_coords(P1, P2, P3, C):
    # 向量运算辅助函数
    def subtract(a, b):
        return (a[0]-b[0], a[1]-b[1], a[2]-b[2])
    
    def dot(a, b):
        return a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2]
    
    def cross(a, b):
        return (
            a[1]*b[2] - a[2]*b[1],
            a[2]*b[0] - a[0]*b[2],
            a[0]*b[1] - a[1]*b[0]
        )
    
    def multiply_scalar(vec, scalar):
        return (vec[0]*scalar, vec[1]*scalar, vec[2]*scalar)
    
    # 计算基础向量
    u_axis = subtract(P1, P2)
    v_axis = subtract(P3, P2)
    n = cross(u_axis, v_axis)
    
    # 计算投影点C_proj
    C_minus_P2 = subtract(C, P2)
    t = dot(n, C_minus_P2) / dot(n, n)
    t_n = multiply_scalar(n, t)
    C_proj = subtract(C, t_n)
    
    # 计算归一化坐标
    vec = subtract(C_proj, P2)
    u = dot(vec, u_axis) / dot(u_axis, u_axis)
    v = dot(vec, v_axis) / dot(v_axis, v_axis)
    
    return (u, v)

numpy简化实现 #

import numpy as np

def compute_normalized_coords_np(P1, P2, P3, C):
    # 转换为numpy数组
    P1 = np.array(P1)
    P2 = np.array(P2)
    P3 = np.array(P3)
    C = np.array(C)
    
    # 计算基础向量
    u_axis = P1 - P2
    v_axis = P3 - P2
    n = np.cross(u_axis, v_axis)
    
    # 计算投影点C_proj
    C_minus_P2 = C - P2
    t = np.dot(n, C_minus_P2) / np.dot(n, n)
    C_proj = C - t * n
    
    # 计算归一化坐标
    vec = C_proj - P2
    u = np.dot(vec, u_axis) / np.dot(u_axis, u_axis)
    v = np.dot(vec, v_axis) / np.dot(v_axis, v_axis)
    
    return (u, v)

验证示例 #

• 输入P2时，返回(0.0, 0.0)
• 输入P1时，返回(1.0, 0.0)
• 输入P3时，返回(0.0, 1.0)
• 输入P4（即P2 + (P1-P2) + (P3-P2)）时，返回(1.0, 1.0)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rui Batista