关于艾森斯坦级数$G_2$为何是拟模形式的技术问询

嘿，各位模形式领域的大佬们，最近我在梳理SL₂(ℤ)的艾森斯坦级数相关内容时，碰到了一个让我有点困惑的点，想请教下大家有没有更深层次的理解：

首先先铺垫下已知的背景：

• 对于偶数$k \geq 4$，艾森斯坦级数
  $$G_k(\tau) = \sum_{\substack{(n, m)\in \mathbb{Z}^2 \ (n,m)\neq(0,0)}} \frac{1}{(m + n\tau)^k}$$
  是群$\Gamma = SL_2(\mathbb{Z})$的权$k$模形式，而且$\Gamma$的全体模形式构成的环恰好是$\mathbb{C}[E_4, E_6]$（这里的$E_4$、$E_6$是标准化后的$G_4$、$G_6$）。常规证明里会重排这个双重级数，但这个方法在$k=2$时就行不通了——因为对应的级数没法紧收敛。

但有意思的是，$G_2$又和模形式特别接近：

• 它满足变换法则$G_2(-1/\tau) = \tau^2 G_2(\tau) + \alpha \tau$，其中$\alpha$是个非零常数；
• 由$G_2$、$G_4$、$G_6$生成的分次环$M_* = \mathbb{C}[G_2, G_4, G_6]$，在算子$D \vert M_k = \frac{1}{2\pi i} \frac{d}{dq} + \beta k$（$\beta$是某个常数）的作用下是封闭的。

这些性质我都能直接推导出来，但我好奇的是：有没有更深层的原因能解释为什么$G_2$是拟模形式？换句话说——

1. 为什么明明$k=2$时级数的收敛性表现很差，$G_2$却依然和模形式如此接近？
2. 反过来讲，为什么$\Gamma$不存在权2的模形式，哪怕$G_2$看起来是个非常合理的候选？

期待各位的解惑！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者anomaly