关于C*代数表示直和中希尔伯特空间⊕_λ H_λ的定义及验证的疑问

嘿，我在Murphy的C*代数教材里看到了下面这段关于表示直和的定义：

A representation of a $\mathrm{C}^$-algebra $A$ is a pair $(H, \varphi)$ where $H$ is a Hilbert space and $\varphi: A \rightarrow B(H)$ is a $$-homomorphism. We say $(H, \varphi)$ is faithful if $\varphi$ is injective.

If $\left(H_\lambda, \varphi_\lambda\right){\lambda \in \Lambda}$ is a family of representations of $A$, their direct sum is the representation $(H, \varphi)$ got by setting $H=\oplus\lambda H_\lambda$, and $\varphi(a)\left(\left(x_\lambda\right)\lambda\right)=$ $\left(\varphi\lambda(a)\left(x_\lambda\right)\right)\lambda$ for all $a \in A$ and all $\left(x\lambda\right)\lambda \in H$. It is readily verified that $(H, \varphi)$ is indeed a representation of $A$. If for each non-zero element $a \in A$ there is an index $\lambda$ such that $\varphi\lambda(a) \neq 0$, then $(H, \varphi)$ is faithful.

但现在我有点懵——要么是我自己的验证错了，要么是教材里那句“readily verified”有问题？我先说说我的思路：

我原本以为$H=\oplus_\lambda H_\lambda$的定义是所有满足$\sup_\lambda|x_\lambda|<\infty$的$(x_\lambda){\lambda}\in\prod\lambda H_\lambda$构成的集合，要是这样的话，$H$确实是个赋范空间，范数取$|(x_\lambda)\lambda|=\sup\lambda|x_\lambda|$，但它根本不是希尔伯特空间啊！

我举了个简单例子验证：取$H_\lambda=\mathbb{C}$（$\lambda=1,2$），内积就是普通的$\langle x,y\rangle=xy$。那按照我理解的直和，$H=\mathbb{C}\times\mathbb{C}$，取$x=(1,0)$，$y=(1,2)$，用平行四边形法则算一下：

$$
\begin{align*}
|x+y|^2+|x-y|2
&=|(2,2)|^2+|(0,-2)|2\
&=2²⁺²2=8
\end{align*}
$$

而另一边：

$$
\begin{align*}
2(|x|^2+|y|2)
&=2(1²⁺²2)\
&=2\times5=10
\end{align*}
$$

明显$8\neq10$，不满足平行四边形法则，所以这个空间不是希尔伯特空间。我这个推导是对的吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kempa