关于$L^2(\mathbb{R})$中两种不同Haar基定义的差异与等价性问询

嘿，这个问题问得特别到位——其实这两种定义本质上是完全等价的，只是表述的视角和框架不一样而已，我来给你掰扯清楚：

Heil《A Basis Theory Primer》中的定义（多分辨率分析视角） #

设$\chi=\chi_{[0,1)}$为区间$[0,1)$上的指示函数（也就是常说的盒函数），定义Haar小波为：
$$\psi=\chi_{[0,1/2)}-\chi_{[1/2,1)}$$
对整数$n,k\in\mathbb{Z}$，定义经过伸缩和平移后的小波函数：
$$\psi_{n,k}(t)=2^{{n/2}\psi\left(2}n t - k\right)$$
那么$L^2(\mathbb{R})$上的Haar系被定义为：
$${\chi(t-k)}{k\in\mathbb{Z}} \cup {\psi{n,k}}_{n\geq0,k\in\mathbb{Z}}$$
书中通过直接计算证明这个系是$L^2(\mathbb{R})$中的标准正交序列，进一步还能证明它是完备的，也就是构成了正交基。

Christensen《An Introduction to Frames and Riesz Bases》中的定义（全局小波基视角） #

给定$\psi\in L^2(\mathbb{R})$，对任意整数$j,k\in\mathbb{Z}$，定义伸缩平移算子作用后的函数：
$$\psi_{j,k}(x)=2^{{j/2}\psi\left(2}j x - k\right),\ x\in\mathbb{R}$$
如果${\psi_{j,k}}_{j,k\in\mathbb{Z}}$是$L^{2(\mathbb{R})$的正交基，那么$\psi$就被称为一个小波。Haar早在1910年就证明了，当$\psi$取Heil书中的那个Haar小波时，${\psi_{j,k}}_{j,k\in\mathbb{Z}}$恰好是$L}2(\mathbb{R})$的正交基。

差异的根源与等价性解释 #

为什么看起来两者差了${\chi(t-k)}_{k\in\mathbb{Z}}$，而且Heil里的尺度参数$n$是非负整数，Christensen里的$j$是全体整数？核心原因是两者的表述框架不同：

• Heil是从**多分辨率分析（MRA）**的分层思路来定义的：先从最粗糙的尺度空间$V_0$（由${\chi(t-k)}{k\in\mathbb{Z}}$张成）出发，然后每个$n\geq0$对应的小波空间$W_n$是$V{n+1}$在$V_n$中的正交补，把$V_0$和所有$W_n$（$n\geq0$）合并起来就覆盖了整个$L^2(\mathbb{R})$。
• Christensen则是直接从全局小波基的视角来表述：当尺度参数$j$取全体整数时，负尺度（$j<0$）的小波函数其实已经可以完全张成Heil定义里的$V_0$空间——你可以自己动手验证，$\chi(t-k)$这类盒函数能被负尺度的Haar小波线性组合出来，反过来也成立。而$j\geq0$时的$\psi_{j,k}$就和Heil定义里的$\psi_{n,k}$完全一致。

所以这两种定义是完全等价的，只是一个用了分层的多分辨率语言，另一个用了更紧凑的全局基语言，本质上都是描述同一个$L^2(\mathbb{R})$的正交基。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mark