关于两个Slater行列式标量积等于内积矩阵行列式的证明疑问

大家好！这是我在MSE上的第一个问题，希望表述清楚。我现在正尝试证明关于Slater行列式的一个结论：

$$
\langle \psi_1 \wedge \dots \wedge \psi_N, \phi_1 \wedge \dots \wedge \phi_N \rangle = \det(\langle \psi_i, \phi_j \rangle),
$$

我用的Slater行列式定义是常规的：

$$
\psi_1 \wedge \dots \wedge \psi_N := \frac{1}{\sqrt{N!}}\det(\psi_i(x_j)) =
\frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{\sigma \in \Sigma_N}\text{sgn}(\sigma)\psi_{\sigma(1)}(x_1)\dots\psi_{\sigma(N)}(x_N)
$$

这是我的尝试过程：

$$
\begin{align*}
&\langle \psi_1 \wedge \dots \wedge \psi_N, \phi_1 \wedge \dots \wedge \phi_N \rangle = \frac{1}{N!}\sum_{\sigma, \tau \in \Sigma_N}\text{sgn}(\sigma)\text{sgn}(\tau)\langle \psi_{\sigma(1)},\phi_{\tau(1)}\rangle \dots \langle \psi_{\sigma(N)},\phi_{\tau(N)}\rangle =\
& = \sum_{\tau \in \Sigma_N}\text{sgn}(\tau)\Bigg(\frac{1}{N!}\sum_{\sigma \in \Sigma_N}\text{sgn}(\sigma)\langle \psi_{\sigma(1)},\phi_{\tau(1)}\rangle \dots \langle \psi_{\sigma(N)},\phi_{\tau(N)}\rangle \Bigg)
\end{align*}
$$

我现在卡在这儿了——按道理括号里的求和应该能化简成乘积$\langle \psi_1,\phi_{\tau(1)}\rangle \dots \langle \psi_N,\phi_{\tau(N)}\rangle$，这样就能进一步得到行列式的结果，但我实在想不通为什么这个求和会化简成这个乘积。有没有大佬能给个思路提示呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ASRCR