关于计数测度下满足μ(lim inf Aₙ) < lim inf μ(Aₙ)的实例正确性验证问询

嘿，你的这个例子完全正确！咱们一步步拆解确认一下：

首先回忆下极限集合的定义：

$\lim\inf A_n = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcap_{n=k}^\infty A_n$

简单来说，这个集合包含的是所有最终会出现在几乎所有$A_n$中的元素——也就是存在某个$k$，当$n\geq k$时，元素始终属于$A_n$。

对于你选取的$A_n = {n, n+1, n+2, \dots}$：

• 任取一个整数$m$，当$n > m$时，$m$就不再属于$A_n$了。这意味着不存在这样的$k$，能让$m$属于所有$n\geq k$的$A_n$。因此$\lim\inf A_n = \emptyset$，在计数测度下$\mu(\emptyset) = 0$。
• 再看$\lim\inf \mu(A_n)$：每个$A_n$都是从$n$开始的无穷正整数集合，计数测度下$\mu(A_n) = \infty$。对于全是$\infty$的数列，它的下极限自然也是$\infty$。

这样一来，$0 < \infty$，完美满足$\mu(\lim\inf A_n) < \lim\inf \mu(A_n)$的要求。

另外给你补充一个更具对称性的例子作为参考：让$A_n$交替取奇数集和偶数集，即$A_{2k-1} = {1,3,5,\dots}$，$A_{2k} = {2,4,6,\dots}$。此时$\lim\inf A_n = \emptyset$（没有元素能持续出现在所有后续的$A_n$中），而$\mu(A_n)$始终为$\infty$，同样满足不等式。不过你的例子已经足够直观简洁啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Algo