关于两类含伽马函数积分的计算方法及标准性问询

咱们先从第一个积分入手：

• 首先注意到你已经写出的关系：$\text{B}(l + ix, l-ix) = \frac{\Gamma(l + ix)\Gamma(l - ix)}{\Gamma(2l)}$，而Beta函数有经典的积分表示：$\text{B}(p,q) = \int_0^1 u^{p-1}(1-u){q-1}du$。把这个代入第一个积分，再交换积分顺序（由于给定的$0 < a < \pi$和$l>0$满足收敛条件，交换是合法的），就能把原积分转化为：
  $$
  \int_0^1 u^{l-1}(1-u){l-1} du \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{u}{1-u} \right)^{ix} \exp((a+it)x) dx
  $$
• 对$x$的积分可以看成指数型积分，结合$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(cx)dx$的收敛性与结果（当$\text{Re}(c) < 0$时为$\frac{2\pi}{-c}$），或者利用Fourier变换的性质，最终这个单积分能化简为关于$u$的有理函数，再对$u$积分就能得到闭合形式的结果。另外也可以用留数法，借助Gamma函数的极点性质来求解。

接下来看第二个二重积分：

• 这个积分可以利用Gamma函数的积分表示$\Gamma(z) = \int_0^\infty s^{z-1}e{-s}ds$（这里取$z=-ix-iy$），代入后交换积分顺序，把二重积分拆成三个单积分的乘积：
  $$
  \frac{1}{\Gamma(2l)} \int_0^\infty s^{-1}e{-s} ds \left( \int_{-\infty}^{\infty} \Gamma(l+ix) \exp\left( (a+it - i\ln s)x \right) dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \Gamma(l+iy) \exp\left( (b+it' - i\ln s)y \right) dy \right)
  $$
• 里面的两个单积分其实就是第一个积分的变体，直接用第一个积分的结果代入后，再对$s$积分就能得到最终结果。

关于这两个积分的标准性：

• 第一个积分属于Gamma函数的Fourier变换类标准积分，在经典的积分表（比如Gradshteyn and Ryzhik的《Table of Integrals, Series, and Products》）或者特殊函数教材（比如Andrews、Askey、Roy合著的《Special Functions》）里都能找到类似条目，是研究特殊函数时常见的积分形式。
• 第二个积分是第一个积分的二重推广，虽不是最基础的标准积分，但属于特殊函数积分的延伸形式，在一些专门讨论多变量特殊函数或积分变换的文献中能找到相关处理方法与结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harshit Rajgadia