关于有界博雷尔集能否用不交开区间的可数并完美逼近的推导错误分析求助

最近我在琢磨一个问题：总觉得哪里不对，但看起来我好像能用不交开区间的可数并完美逼近每个有界博雷尔集——这里的“完美”指的是博雷尔集和逼近集的对称差的勒贝格测度为0。我自己理了一遍推导过程，但死活找不到问题出在哪，想请大家帮忙看看。

我的推导思路是这样的：

假设一个博雷尔集 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 是有界的，因此存在 $a_0, b_0 \in \mathbb{R}$ 使得 $B \subseteq (a_0, b_0)$。对于每个 $x \in B$，我考虑包含 $x$ 的最大区间 $(a_x, b_x)$，满足 $\lambda((a_x, b_x) \triangle B) = 0$（其中 $\lambda$ 是勒贝格测度，$X \triangle Y := (X\backslash Y) \cup (Y \backslash X)$ 表示对称差）。更精确地说：
$$
\begin{align*}
a_x &:= \inf { a \in \mathbb{R}: a \leq x, \lambda((a, x) \triangle B) = 0 }, \
b_x &:= \sup { b \in \mathbb{R}: b \geq x, \lambda((x, b) \triangle B) = 0 }.
\end{align*}
$$
这些区间是不交的，因为如果 $x$ 同时属于区间 $I$ 和 $J$，那么根据 $(a_x, b_x)$ 的极大性，$I \cup J$ 必然包含在 $(a_x, b_x)$ 中。另外，每个开区间都包含一个有理数，借助选择公理，我们可以给每个区间选一个有理代表元，因此这些区间的总数是可数的。

把这个可数并记为 $S := \cup_{n \in \mathbb{N}}I_n$，那么 $\lambda(S \triangle B) = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda (I_n \triangle B) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0$，因为 $I_n \triangle B$ 是不交的，可数个0相加还是0。

这段推导感觉肯定有问题，但我就是揪不出错处。

编辑记录 #

• 第一次编辑：感谢@user14111指出了一个笔误，现在已经修正完毕。
• 第二次编辑：多亏@user14111的第一条评论，我好像找到错误了！本质上我下意识默认了“只有集合的稠密部分才能产生正测度”，但实际完全不是这么回事。在我的推导里，每个 $x \in B$ 可能会出现 $a_x = x = b_x$ 的情况，这时候 $(a_x, b_x) = \emptyset$，我之前觉得这种空区间可以直接忽略，但其实不行——比如胖康托尔集，它是无处稠密的，也就是说所有的 $(a_x, b_x)$ 都是空集，但它的勒贝格测度是正的。这就意味着我的逼近集 $S$ 是空集，和胖康托尔集的对称差测度就是胖康托尔集本身的测度（正数），显然不满足“完美逼近”的条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ray