多班级学生提问选中场景下的概率求解正确性验证问询

现有10名学生和16门课程，所有学生都会参加全部16门课程。每门课的老师可以选择任意数量的学生提问（包括0个或多个，比如第1门课的老师可以选0个学生，也可以选3个学生提问）。每门课都会重复这个选择过程。请问：每门课都至少选中2名学生的概率是多少？

你给出的解法如下：
$$\frac{\sum_{k=0}^{16}(-1)k\binom{16}{k}\bigg[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}\bigg]^{k\bigg[\binom{10}{2}+\binom{10}{3}...+\binom{10}{10}\bigg]}{16-k}}{\bigg[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}...+\binom{10}{10}\bigg]^{16}}$$

化简后得到：
$$\frac{\sum_{k=0}^{16}(-1)k\binom{16}{k}(11)^k(2{10}-11)^{16-k}}{2{160}}$$

我可以明确告诉你：你的解法完全正确！下面拆解一下逻辑细节，帮你确认思路：

• 分母的合理性：每门课中，每个学生有“被选中”和“不被选中”两种状态，10个学生就有$2^{{10}$种选择组合；16门课的总可能情况数就是$(2}{10})^{16}=2{160}$，这部分计算准确。
• 分子的容斥逻辑：我们需要计算“16门课全部满足至少选2名学生”的情况数，用容斥原理排除“存在至少一门课选了0或1名学生”的情况：
  1. 定义事件$A_i$为“第$i$门课选的学生数不足2个”，我们要求的是所有$A_i$的补事件的交集情况数。
  2. 容斥公式中，$\binom{16}{k}$代表从16门课里选出$k$门作为“选中学生数不足2个”的目标课程，$(-1)^k$是容斥的符号调整项。
  3. 每门课选0或1名学生的情况数是$\binom{10}{0}+\binom{10}{1}=11$，所以$k$门课的总情况数是$11^{k$；剩下的$16-k$门课要求至少选2名学生，对应的情况数就是总情况数减去选0或1名的情况数，即$2}{10}-11$，因此这部分是$(2^{10}-11){16-k}$。

整个推导过程完全符合容斥原理的应用场景，公式化简也没有问题，你的思路和结果都是对的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1172694