有限维非零向量空间上交换幂零李代数的公共非零零化向量存在性及简短证明问询

首先，先明确你的问题：

给定有限维非零向量空间$V$，设$L \subset \mathfrak{gl}(V)$是交换李代数，且$L$中所有元素都是幂零线性映射。是否存在非零向量$v \in V$，使得对所有$x \in L$都有$x(v)=0$？

补充：我发现更一般的情况（不要求$L$交换）这个结论也成立，但证明较长。我觉得利用交换条件应该能给出更简短的证明，是这样吗？

答案是肯定的，而且确实能给出比一般情况（Engel定理）简洁得多的证明，核心就是利用交换性带来的不变子空间性质，结合幂零元的特点和有限维空间的归纳法：

• 第一步，先抓一个非零元素$x_1 \in L$：因为$x_1$是幂零映射，它的零化子$\ker x_1$是$V$的非零子空间——这是幂零元的基本性质，幂零线性映射必然存在非零的零化向量，所以$\ker x_1 \neq {0}$。
• 第二步，利用交换性证明$\ker x_1$是$L$-不变子空间：对任意$x \in L$，因为$L$交换，所以$x x_1 = x_1 x$。任取$v \in \ker x_1$，那么$x_1(x(v)) = x(x_1(v)) = x(0) = 0$，这就说明$x(v) \in \ker x_1$，也就是说$L$中所有元素作用在$\ker x_1$上都不会跑出这个子空间。
• 第三步，对空间维数做归纳：把$L$限制在$\ker x_1$上，得到的$L|_{\ker x_1}$仍然是交换幂零李代数（限制后的元素还是幂零的，交换性也自然保持）。如果$\dim V = 1$，那$L$里的元素只能是零映射，整个空间都是公共零化子；假设维数小于$n$的空间都满足结论，那么$\dim \ker x_1 < \dim V = n$，根据归纳假设，存在非零$v \in \ker x_1$，使得所有$x \in L$都满足$x(v)=0$——这个$v$就是我们要找的公共非零零化向量。

整个证明完全依赖交换性简化了不变子空间的构造，比一般Engel定理的证明少了很多关于李代数理想、极大子代数的推导，确实短不少。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anonmath101