求类克罗内克德尔塔连续极限函数的连续时间傅里叶变换闭式解
嗨，这个问题很有意思！我们先从拆解你定义的函数$G(x)$开始，再一步步推导它的傅里叶变换。
第一步：分析$G(x)$的极限行为
你定义的函数是$G(x) = \lim\limits_{k \to \infty} (T(x))^k$，其中$T(x)$是单位三角函数：
$$T(x) =
\begin{cases}
1-|x|, & |x| \lt 1 \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}$$
先看逐点极限：
- 当$x \neq 0$时，$|x| > 0$，所以$1-|x| \in [0,1)$，当$k \to \infty$时，$(1-|x|)^k$会趋近于0；
- 当$x=0$时，$T(0)=1$，所以$(1-0)^k=1$，极限是1。
但这里有个关键问题：普通函数意义下，这个极限几乎处处为0，且积分$\int_{-\infty}^\infty G(x)dx = \lim_{k\to\infty} \int_{-1}^1 (1-|x|)^k dx = \lim_{k\to\infty} \frac{2}{k+1} = 0$，这显然和你想要的“类克罗内克德尔塔”行为不符（克罗内克德尔塔的“总和”为1）。
所以我们需要在**广义函数（分布）**的框架下讨论，并且通常需要给$T(x)^k$加上归一化因子，让它的积分始终为1，修正后的定义应该是：
$$G(x) = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k+1}{2} (T(x))^k$$
这个修正后的函数，当$k\to\infty$时，所有“质量”会集中到$x=0$点，且积分始终为1，正好对应连续域的狄拉克δ函数$\delta(x)$。
第二步：计算傅里叶变换的极限
我们先计算未归一化的$T(x)^k$的傅里叶变换，再分析极限：
1. 单个$T(x)$的傅里叶变换
$T(x)$是实偶函数，所以它的傅里叶变换可以简化为：
$$F_T(\omega) = \int_{-\infty}^\infty T(x)e^{-j\omega x}dx = 2\int_{0}^1 (1-t)\cos(\omega t)dt$$
通过分部积分计算可得：
$$F_T(\omega) = \left( \frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2} \right)^2$$
2. $T(x)^k$的傅里叶变换
对于$T(x)^k$，它的傅里叶变换为：
$$F_k(\omega) = \int_{-\infty}^\infty (T(x))^k e^{-j\omega x}dx = 2\int_{0}^1 (1-t)^k \cos(\omega t)dt$$
3. 取$k\to\infty$的极限
情况1：未归一化的$G(x)$
直接对$F_k(\omega)$取极限：
$$\lim_{k\to\infty} F_k(\omega) = \lim_{k\to\infty} 2\int_{0}^1 (1-t)^k \cos(\omega t)dt$$
利用积分中值定理，存在$\xi_k \in [0,1]$使得：
$$\int_{0}^1 (1-t)^k \cos(\omega t)dt = \cos(\omega\xi_k) \cdot \frac{1}{k+1}$$
当$k\to\infty$时，这个值趋近于0，所以未归一化的$G(x)$的傅里叶变换为0，这显然不是你想要的结果。
情况2：归一化后的$G(x)$（对应狄拉克δ函数）
我们计算归一化后的傅里叶变换：
$$\lim_{k\to\infty} \frac{k+1}{2} F_k(\omega) = \lim_{k\to\infty} (k+1)\int_{0}^1 (1-t)^k \cos(\omega t)dt$$
做变量替换$t = \frac{s}{k+1}$，当$k\to\infty$时，$(1-t)^k = \left(1-\frac{s}{k+1}\right)^k \to e^{-s}$，且$\cos(\omega t) = \cos\left(\frac{\omega s}{k+1}\right) \to 1$，积分上限$1$对应$s\to\infty$，因此：
$$\lim_{k\to\infty} (k+1)\int_{0}^1 (1-t)^k \cos(\omega t)dt \approx \int_{0}^\infty e^{-s} \cdot 1 ds = 1$$
这正好是狄拉克δ函数$\delta(x)$的傅里叶变换，符合“类克罗内克德尔塔”的预期。
结论
如果你想要的是和克罗内克德尔塔行为一致的连续极限函数（即狄拉克δ函数），那么需要先对$T(x)^k$做归一化处理，此时它的连续时间傅里叶变换的闭式解为1；如果不做归一化，傅里叶变换的极限为0，这不符合你想要的类克罗内克德尔塔特性。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Srini
