能否用不超过2个或非门实现含无关项的布尔函数F(A,B,C,D)？

布尔函数为 $F(A,B,C,D)=\Sigma(2,4,10,12,14)$，无关项为 $\Sigma(0,1,5,8)$，要求用不超过2个或非门（Nor门）实现。绘制卡诺图并推导后，判断无法实现，现验证该判断是否正确。

卡诺图 #

推导过程 #

C'D' + ACD' + A'B'CD'
D'(C'+AC+A'CB')
D'(C'(A+A')+AC+A'B'C)
D'(AC'+AC+A'C'+A'B'C)
D'(A+A'C'+A'B'C)
D'(A+A'(C'+B'C)

分析与结论 #

• ChatGPT给出的D'简化结果错误，根据卡诺图最大分组得到的最简式为 C'D'+ACD'+A'B'D'，进一步化简为 D'(A+B'+C')。
• 你的判断正确，该函数无法用不超过2个或非门实现，原因如下：
  1. 将最简式转换为或非结构：D'(A+B'+C') = ¬[¬(A+B'+C') + ¬D']，此结构需要3个或非门：第一个实现¬(A+B'+C')（3输入或非），第二个实现¬D'（需处理单输入，通常需接多余输入为0），第三个实现两者的或非。
  2. 即使利用无关项优化，也无法将函数简化到仅需2个或非门的结构——该函数是4变量的与或式，其对应的或非-或非结构至少需要3个或非门，2个或非门的组合无法覆盖所有输入逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheIncrediblyStupidOne