关于马尔可夫链互通类判定的疑问

嘿，我来帮你拆解这个困惑！咱们先把互通类的核心定义掰扯清楚：两个状态互通，当且仅当彼此都能通过正整数步的转移到达对方；而互通类就是基于这个“互通”关系划分出的最大等价子集——子集里的任意状态都互相互通，且子集外的状态和子集内的状态都不互通。

现在咱们对着你给的转移矩阵逐个分析：

先看你和教授都认可的{2,3} #

这个完全没问题：状态2一步就能到3，状态3一步就能回2，彼此完全互通，构成一个标准的互通类，你的判断是对的。

关于{1}是不是互通类 #

你觉得“状态1离开后再也回不来，所以不能单独成类”，这里的关键点是：单个状态的互通性怎么定义？
有些教材里会把“状态自己到自己”视为平凡成立（比如允许步数为0，也就是原地不动），即使该状态无法通过≥1步转移回到自己。按照这个定义，状态1和自己是“互通”的，而且没有任何其他状态能到达1，所以{1}就成了一个独立的互通类——这应该就是教授把{1}算进去的原因。
但如果严格要求“必须通过正整数步回到自己”，那状态1确实无法满足，这时候{1}就不算互通类。不同教材的定义细节可能有差异，你可以去翻一下你们教材里的互通性定义哦。

关于教授说的{4,5}是不是互通类 #

这部分你的判断才是对的！咱们看矩阵：

• 状态4能到自己（一步概率1/2），也能到状态5（一步概率1/2）；
• 但状态5是吸收态，永远只能留在自己，任何步数都无法到达状态4。
  按照互通的定义，4能到5，但5不能回4，所以两者不互通，绝对不能构成同一个互通类。正确的划分应该是{4}和{5}两个独立的类：{4}是瞬态类（能到5但回不来），{5}是吸收态的常返类。
  教授这里大概率是把“互通类”和“闭集”搞混了——{4,5}确实是一个闭集（里面的状态跳不出这个集合），但闭集和互通类是完全不同的概念哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者The Rizzler