关于利用伸缩变换推导热方程基本解的疑问及求解指导请求

我目前正在尝试用伸缩变换法推导热方程的基本解：
$$u(x,t) = \frac 1{2 \sqrt{\pi Dt}} e^{-\frac {x^2}{4Dt}}$$

我的推导过程与遇到的问题 #

定解问题设定 #

首先明确热方程及对应的定解条件：
$$\frac{\partial u}{\partial t} = D\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

• 初始条件：$u(x,0) = n_{0}\delta(x)$（初始时刻的δ函数分布）
• 无穷远边界条件：$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{u(x,t)} = 0$

伸缩变换与相似变量构造 #

设伸缩变换为 $u = \epsilon^{c}U,t = \epsilon^{b}T,x = \epsilon^{a}X$，代入热方程后得到：
$$\epsilon^{c - b}\frac{\partial U}{\partial T} = \epsilon^{c - 2a}D\frac{\partial^{2}U}{\partial X^{2}}$$
为保证方程的不变性，必须满足 $b = 2a$。

基于这个不变性，我构造了相似变量 $z = \frac{x}{t^{\frac{1}{2}}}$，同时设解的形式为 $u = t^{\frac{c}{b}}v(z)$，接着计算各阶偏导数：

• 时间偏导数：
  $$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \frac{c}{b}t^{\frac{c}{b} - 1}v - \frac{1}{2}zt^{\frac{c}{b} - 1}v'$$
• 一阶空间偏导数：
  $$\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = t^{\frac{c}{b} - \frac{1}{2}}\frac{dv}{dz}$$
• 二阶空间偏导数：
  $$\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}} = t^{\frac{c}{b} - 1}\frac{d^{2}v}{dz{2}}$$

将这些代入原热方程，两边消去公共因子 $t^{\frac{c}{b} - 1}$，得到关于 $v(z)$ 的常微分方程：
$$Dv'' + \frac{1}{2}zv' - \frac{c}{b}v = 0$$

尝试简化与遇到的瓶颈 #

一开始为了简化计算，我选择令 $c = 0$，此时ODE简化为：
$$Dv'' + \frac{1}{2}zv' = 0$$
解这个方程得到：
$$v' = Ae^{- \frac{1}{4D}z^{2}}$$
积分后得到：
$$v = A\int_{- \infty}^{z}{e{- \frac{1}{4D}s^{2}}ds} + B$$
对应回原变量的表达式为：
$$u(z) = A\int_{- \infty}^{z}{e{- \frac{1}{4D}t^{2}}dt} + B$$
但到这里我就卡住了，不知道如何让这个表达式满足给定的初始条件和无穷远边界条件。

后来我尝试不指定 $c$ 的值，用变量替换 $v(z)=p(z)w(z)$ 来消去ODE中的一阶项，选择了 $p(z)=e^{-\frac {z^2}{8D}}$，但处理后得到的ODE中 $w$ 的项仍然带有 $z$，还是无法求解。另外我也参考过一些相关笔记，但里面的边界条件和我的问题不匹配，不知道怎么调整适配。

希望能得到大家的指导，帮我完成后续的推导，最终得到目标的基本解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fellow InstituteOfMathophile