如何将序列$c_t$的求和型公式重构为仅依赖$c_{t-1}$、$a_t$和$b_t$的递推表达式？

很遗憾，无法仅用$c_{t-1}$、$a_t$和$b_t$来完全确定$c_t$，核心原因在于$c_{t-1}$只保留了前$t-1$步$b$和$a$累加和的比值信息，丢失了累加和的绝对值信息——而这些绝对值会直接影响$c_t$的计算结果。

我们可以通过两个对比例子直观验证这一点：

例子1 #

假设$t-1=1$：

• $a_1 = 1$，$b_1 = 1$
• 计算得$c_{1} = \frac{1}{1+1} = 0.5$

当$t=2$时，取$a_2=1$，$b_2=1$：

• $c_2 = \frac{1+1}{1+1+1} = \frac{2}{3} ≈ 0.6667$

例子2 #

假设$t-1=2$：

• $a_1=3$，$a_2=0$；$b_1=2$，$b_2=0$
• 计算得$c_{2} = \frac{2+0}{1+3+0} = 0.5$（和例子1的$c_{t-1}$完全相同）

当$t=3$时，取$a_3=1$，$b_3=1$（和例子1的$a_t$、$b_t$完全相同）：

• $c_3 = \frac{2+0+1}{1+3+0+1} = \frac{3}{5} = 0.6$

可以看到，两个例子中$c_{t-1}$、$a_t$、$b_t$完全一致，但最终$c_t$的结果却不同。这说明$c_t$的取值不仅依赖这三个量，还必须参考前$t-1$步累加和的绝对值。

可行的替代方案：引入辅助变量 #

虽然无法仅用三个量直接表示$c_t$，但我们可以引入一个简单的辅助变量来保存累加和信息，从而得到简洁的递推式：

令$w_t = 1 + \sum_{i=1}^t a_i$（即原公式分母的累加项），则：

• 初始条件：$w_0 = 1$，$c_0 = 0$（对应无任何时间步的初始状态）
• 递推关系：
  1. $w_t = w_{t-1} + a_t$
  2. $c_t = \frac{w_{t-1} \cdot c_{t-1} + b_t}{w_t}$

这个递推式只需要维护$w_t$和$c_t$两个变量，每一步计算仅依赖前一步的$w_{t-1}$、$c_{t-1}$以及当前的$a_t$、$b_t$，完全避开了显式的求和操作。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Charles