拓扑互反性与类域论伊代尔商群的拓扑类比理解问题

假设$K$是一个整体域，Artin互反性给出了两个交换群之间的同构：
$$K^\times \backslash \mathbb{I}_K / \mathcal{O} \xrightarrow{\sim} \operatorname{Gal}(K^{ab}/K)$$
这里的各个符号含义如下：

• $K^{{ab}$是$K$的**极大交换扩张**，因此$\operatorname{Gal}(K}{ab}/K)$是交换群
• $\mathbb{I}_K$是伊代尔群，一个和$K$整数环中的素理想相关的大群
• $\mathcal{O}$是$\mathbb{I}_K$中1的连通分支构成的子群

我一直听人说，类域论的一种核心理解视角是把域扩张类比成拓扑里的覆盖空间——从这个角度看，$K^{ab}$就对应着最大的那个覆盖空间，它的甲板变换群是交换群，右边的Galois群在拓扑语境下的意义也很好理解。

但我的问题是：左边这个伊代尔商群$K^\times \backslash \mathbb{I}_K / \mathcal{O}$，能不能也用这个拓扑类比的视角来解释清楚呢？

补充说明：为了让问题更清晰，我想提一下，在一般**拓扑斯（topos）**理论里有基本群的概念，它统一了拓扑里的基本群、代数几何里的平展基本群，当然也包括Galois群。或许换个方式问：拓扑斯理论里有没有对应伊代尔的一般化概念呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chris Kuo