分式级数∑1/[n(n+1)]的严谨求解方法咨询

嘿，你观察到的规律完全正确！而且你提到的**望远镜级数（telescoping series）**就是解决这类问题的核心技巧，不用靠算前几项猜规律也能严谨推导出来，我来给你一步步拆解：

首先，我们用部分分式分解把通项拆成两个简单分式的差——这是望远镜级数的关键步骤：
对于任意正整数n，我们可以把$\frac{1}{n(n+1)}$拆解为：
$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$
你可以自己验证下，把右边通分后确实等于左边：$\frac{(n+1)-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$，完全成立。

接下来把这个分解代入到你的求和式里：
$$\sum_{n=1}^{89} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{89} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$

现在把求和展开写出来，你就能一眼看到神奇的抵消效果了：
$$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{89} - \frac{1}{90}\right)$$

看到没？中间的每一项都会被抵消掉：$-\frac{1}{2}$和后面的$+\frac{1}{2}$抵消，$-\frac{1}{3}$和后面的$+\frac{1}{3}$抵消，一直到$-\frac{1}{89}$和前面的$+\frac{1}{89}$抵消。最后就只剩下最开头的1和最后面的$-\frac{1}{90}$。

所以最终的结果就是：
$$1 - \frac{1}{90} = \frac{89}{90}$$

这个方法是通用的，不管求和上限是多少k，$\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n(n+1)}$的结果都是$\frac{k}{k+1}$，和你之前观察到的规律完全一致，但这次是严谨推导出来的，不用依赖猜规律啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者shrey1