预微积分作业：闭区间上函数乘积与商的定义性证明及思路验证

这是一份预微积分作业的思考内容，我有点担心自己是不是漏了什么点👇

问题描述 #

设$p(x)$、$q(x)$是在某闭区间上所有点都有定义的函数。请问乘积$p(x)q(x)$在该闭区间的所有点上都有定义吗？商$p(x)/q(x)$在该闭区间的所有点上都有定义吗？

问题1：乘积$p(x)q(x)$的定义性 #

我的答案是**“是”**，不过怎么证明呢？我自己梳理了下思路：

• 如果两个函数在区间内每一点都有定义，那对区间里任意一点$x$，$p(x)$和$q(x)$都是实数。两个实数相乘的结果肯定还是实数，这一步逻辑是通顺的。
• 我一开始还纠结会不会出现分母为0的情况？后来想通了：乘积运算本身不会引入分母，除非$p(x)$或$q(x)$本身是分式形式，但既然这两个函数在整个闭区间都有定义，那它们各自的分母（如果有的话）在区间内任何点都不会为0——不然对应的函数本身就没法在该点有定义了。而且其实影响函数定义的核心障碍就是除以0，其他实数运算都不会导致无定义的情况。

问题2：商$p(x)/q(x)$的定义性 #

我的答案是**“否”**，理由很直接：

• 虽然$p(x)$和$q(x)$各自在整个闭区间都有定义，说明它们自身已经避开了除以0的问题，但架不住$q(x)$在区间里某个点$c$处取值为0啊！比如假设存在$c$属于这个闭区间，使得$q(c)=0$，那$p(c)/q(c)$就会因为除以0而无定义，所以商函数没法保证在闭区间的所有点上都有定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1145880