关于双曲平面ℍ²中测地线上两点间双曲距离计算的技术问询

最近我一直在自学微分几何，但双曲空间的一些概念真的让我犯难。我碰到这么一个问题：已知点P坐标为$(1,1)$，点Q坐标为$(2, \sqrt{2})$，需要通过以下三个步骤计算它们之间的双曲距离：

• i.) 找到包含P、Q两点的紫色测地线$\gamma$的端点坐标
• ii.) 有一个绿色半圆C，它以$\gamma$的右端点为圆心，半径是$\gamma$半径的两倍。已知这个半圆经过反演变换后会得到一条蓝色竖直线，P、Q在这条直线上的像分别是P'和Q'，需要用相似三角形计算出P'和Q'的坐标
• iii.) 计算P'和Q'之间的精确双曲距离，进而合理推导出P和Q之间的双曲距离

我熟悉$\mathbb{C}$中的莫比乌斯变换和共形映射，但在这里实在摸不清思路，完全不知道该从哪里开始着手。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J. Ross