多项式实根衍生序列$u_n$的收敛性证明求助

我现在遇到一个多项式实根相关的收敛性问题，想请大家帮忙看看：

给定$n \geq 3$时的多项式：
$$
P_n\left(X\right) = X^{{2n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)X}{2n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)X+1=0
$$
设$r_n$是$P_n(X)$的最大实根（已知它的实根是$-1$、$1/r_n$和$r_n$）。我已经证明了：
$$
\frac{1}{n} \leq r_n-1 \leq \frac{2}{n}
$$

现在令$\theta_n$满足$r_n = 1 + \frac{\theta_n}{n}$，需要证明序列$\left(u_n\right)$：
$$
u_n = \frac{\theta_n-1}{\theta_n+1}e^{2 \theta_n}
$$
是收敛的，且$\displaystyle u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow}1$。

我感觉不用先证明$\left(\theta_n\right)$本身收敛也能完成这个证明。目前我已经知道对所有$n \geq 3$，$1 < \theta_n <2$，所以$u_n$是有界的，但没办法证明$u_n$是单调递增或者递减的。我只观察到$\left(r_n\right)$看起来是单调递减的，而且已经证明它收敛到1，由此推测$\left(\theta_n\right)$是递减的（但还没证明出来），另外也知道$\theta_n=o\left(n\right)$。总觉得还差一点关键的东西来证明$\left(u_n\right)$的收敛性，有没有大佬能给点思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Atmos