关于泰勒多项式近似sin(1)时最小有效次数的困惑

我用了以0为中心的$f(x)=\sin(x)$的泰勒多项式：
$$\frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^{3+\frac{1}{5!}x}5-\frac{1}{7!}x^{7+\frac{1}{9!}x}9-\frac{1}{11!}x^{11}+...$$

把$x$替换成1之后，我一步步计算近似值：

• 仅取第一项：$\frac{1}{1!}(1)=1$
• 前两项（3次多项式）：$\frac{1}{1!}(1)-\frac{1}{3!}(1)^3=0.\textbf{83333}33333...$
• 前三项（5次多项式）：$\frac{1}{1!}(1)-\frac{1}{3!}(1)^{3+\frac{1}{5!}(1)}5=0.\textbf{84166}6666...$
• 前四项（7次多项式）：$\frac{1}{1!}(1)-\frac{1}{3!}(1)^{3+\frac{1}{5!}(1)}5-\frac{1}{7!}(1)^7=0.\textbf{84146}8253...$
• 前五项（9次多项式）：$\frac{1}{1!}(1)-\frac{1}{3!}(1)^{3+\frac{1}{5!}(1)}5-\frac{1}{7!}(1)^{7+\frac{1}{9!}(1)}9=0.\textbf{84147}10097001...$
• 前六项（11次多项式）：$\frac{1}{1!}(1)-\frac{1}{3!}(1)^{3+\frac{1}{5!}(1)}5-\frac{1}{7!}(1)^{7+\frac{1}{9!}(1)}9-\frac{1}{11!}(1)^{11}=0.\textbf{84147}098...$

我注意到9次和11次多项式的近似值前五位小数是一致的，所以我认为9次是能满足五位小数精度要求的最小次数。

不过后续我继续计算发现，11次和13次多项式的近似值前八位小数相同，于是我回答11次是满足八位精度要求的最小次数——这个答案是对的，但9次那个却错了。这让我特别困惑，明明9次是第一个和下一个次数的近似值前五位小数一致的情况，我是不是哪一步操作或者判断出错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ansar Al