关于Lipschitz常数为1的连续函数导数上确界范数定义的疑问

嘿，这个问题抓得很准啊！确实，Lipschitz连续函数未必处处可导，但你看到的||h'|| ≤ 1这个结论，其实是结合了几乎处处可导的性质来定义的，完全不用纠结那些测度为零的不可导点。

具体来说：

• 首先得提一个核心定理：Rademacher定理。它告诉我们，任何Lipschitz连续函数在几乎处处（也就是除了一个测度为零的集合之外）都是可导的。那些导数不存在的点，在测度论的视角下可以说是“可以忽略的小部分”，不会影响整体的分析结论。
• 这里的上确界范数||h'||，严格来讲是针对所有导数存在的点来取的——也就是把这些点上的导数绝对值的上确界算出来就行。那些测度为零的不可导点，因为根本没有导数定义，自然不会参与到上确界的计算里，也就不会改变这个范数的取值。
• 从Lipschitz常数的本质来看，全局Lipschitz常数为1，意味着函数在任何局部的“变化率”都不会超过1。而导数存在的点，导数的绝对值就是该点的局部变化率，所以几乎处处的导数绝对值都必然≤1，这也直接对应了||h'|| ≤ 1的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者abc