交换环到素谱局部化直积的映射是否恒为单射？

答案是肯定的——这个映射总是单射，不管环是否含有幂零元。你的困惑可能来自对局部化映射核的误解，我们一步步理清楚：

• 先明确映射的核定义：对于元素 (a \in A)，(a) 在映射的核中当且仅当对每个素理想 (\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(A))，(a) 在局部化 (A_{\mathfrak{p}}) 中被映为0。
• 回忆局部化映射 (A \to A_{\mathfrak{p}}) 的核性质：元素 (a) 被映为 (A_{\mathfrak{p}}) 中的零元，等价于存在某个 (s \notin \mathfrak{p}) 使得 (s \cdot a = 0)，也就是 (a) 的零化子 (\operatorname{Ann}(a)) 与 (A \setminus \mathfrak{p}) 有交集。
• 假设 (a \neq 0)，那么 (\operatorname{Ann}(a)) 是 (A) 的真理想（如果 (1 \in \operatorname{Ann}(a))，则 (a = 1 \cdot a = 0)，这与 (a \neq 0) 矛盾）。根据交换环的基本结论，任何真理想都包含于某个素理想 (\mathfrak{p})。对于这个素理想 (\mathfrak{p})，(\operatorname{Ann}(a) \subseteq \mathfrak{p})，所以 (\operatorname{Ann}(a)) 和 (A \setminus \mathfrak{p}) 没有交集——这意味着 (a) 在 (A_{\mathfrak{p}}) 中不会被映为0，因此 (a) 不在映射的核里。
• 反过来，如果 (a = 0)，显然它会被映为直积中的零元。

你提到在无幂零元的环中能证明单射，其实这个结论可以直接推广到所有交换环——上面的推导完全没用到环的约化性（无幂零元）。之前可能误以为幂零元会导致非单射，但实际例子比如 (A = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})（含幂零元2），它的素谱只有 ((2))，映射就是 (A \to A_{(2)} = A)，显然是单射；再比如 (A = k[x]/(x^2))（(k) 为域），素谱只有 ((x))，映射同样是单射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Omega