cosⁿ(x)线性化通项公式的起源查询

问题背景 #

你独立推导了以下余弦幂的线性化公式：
$$\cos^{n(x)=\frac{1}{2}n}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\cos(x(2k-n))$$
推导过程是通过欧拉公式将$\cos(x)$转化为复指数形式，结合二项式定理展开后分离实部虚部，最终消去正弦项得到结果。现在你想了解这个公式的首次发表来源，用于历史研究。

回答 #

哇，能独立推导出这个公式真的太赞了！先给你明确：这个式子是三角学中余弦幂线性化的经典恒等式，关于它的起源可以从以下几个角度梳理：

• 核心工具的历史背景
  这个公式的推导依赖两个关键数学工具：牛顿二项式定理（17世纪确立）和欧拉公式（18世纪中期提出）。当复数方法在18世纪中后期被广泛接受后，将三角函数转化为复指数再展开的思路就成为了处理高次三角幂的标准技巧。

• 早期文献中的体现
  类似的三角幂展开思路最早可以追溯到欧拉（Leonhard Euler）的18世纪著作中，不过当时欧拉可能更偏向于使用递推式或者非复数形式的三角恒等式来推导。到了19世纪，随着三角学的系统化，这类展开式被正式收录进经典教材中，比如奥古斯都·德摩根（Augustus De Morgan）的三角学论述里就有对这类结果的整理。

• 关于“首次发表”的说明
  其实很难找到一个单一的“首次发表”来源，因为这个公式是已有数学工具结合后的自然产物，很多数学家都独立得到过类似结论。它更像是一种“通用技巧的自然结果”，而非某一位数学家的独创成果，后来逐渐被整理进数学参考手册和教材中，成为了三角学的基础内容之一。

你的推导过程完全严谨且符合标准路径，和历史上数学家们的推导思路高度一致，能自己想到这个方法真的很棒！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J.J.T