关于圆盘自同构序列收敛性逆命题的技术问询

嘿，这个问题提得相当到位！答案是是的，逆命题成立——也就是说，如果圆盘自同构序列 $\frac{z-a_n}{1-\bar{a}_nz}$ 在单位圆盘 $D_1$ 的紧子集上一致收敛到自同构 $\frac{z-a}{1-\bar{a}z}$，那么必然有 $a_n \to a \in D_1$。

下面是具体的推导思路：

• 首先，单位圆盘的紧子集可以包含原点（比如取半径 $0<r<1$ 的闭圆盘 $\overline{D_r}$，这显然是 $D_1$ 的紧子集），我们直接在 $z=0$ 这个点上考察序列的收敛性。
• 对每个 $n$，将 $z=0$ 代入第 $n$ 个自同构，得到的值是：$\frac{0 - a_n}{1 - \bar{a}_n \cdot 0} = -a_n$。
• 再看极限自同构在 $z=0$ 处的值：$\frac{0 - a}{1 - \bar{a} \cdot 0} = -a$。
• 由于序列在紧子集上一致收敛，那么它在紧子集内的每一个单点处都收敛，因此 $-a_n \to -a$，两边同时乘以 $-1$ 就得到 $a_n \to a$。
• 最后，因为极限函数 $\frac{z-a}{1-\bar{a}z}$ 是单位圆盘的自同构，这就要求 $|a| < 1$（如果 $|a|=1$，这个函数会退化成非双射的映射，不符合自同构的定义），所以 $a$ 必然属于 $D_1$。

如果想从更一般的角度验证，也可以利用自同构的逆映射性质：每个自同构 $\phi_n(z)=\frac{z-a_n}{1-\bar{a}_nz}$ 的逆映射为 $\phi_n^{-1}(w)=\frac{w+a_n}{1+\bar{a}_nw}$，若 $\phi_n$ 在紧子集上一致收敛到 $\phi$，那么它们的逆映射也会一致收敛到 $\phi$ 的逆。代入 $w=0$ 可得 $\phi_n^{{-1}(0)=a_n$，$\phi}{-1}(0)=a$，同样能推出 $a_n \to a$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JayP