正矩阵谱半径严格不等式的证明方法咨询

首先先帮你理清这个不等式的含义：它是说正矩阵的谱半径严格介于其所有行和的最小值与最大值之间，而且前提是矩阵的行和不全相等——这一点是关键，如果行和全相等，谱半径就等于这个共同的行和，不等式就会变成等号。

接下来咱们结合你已经知道的Perron-Frobenius定理（正矩阵适用），一步步完成证明：

第一步：证明 $\rho(A) < \max_i \sum_{j=1}^n a_{i,j}$ #

已知正矩阵$A$存在正特征向量 $v = (v_1, v_2, ..., v_n)^T > 0$，满足 $Av = \rho(A)v$。把这个等式展开到第$i$行可得：
$$\sum_{j=1}^n a_{i,j}v_j = \rho(A)v_i \quad \forall i$$

设 $M = \max_i \sum_{j=1}^n a_{i,j}$，再取特征向量$v$中最大的分量 $v_k = \max{v_1, v_2, ..., v_n}$。对第$k$行的等式两边除以$v_k$（$v_k>0$，合法）：
$$\sum_{j=1}^n a_{k,j} \frac{v_j}{v_k} = \rho(A)$$

因为 $\frac{v_j}{v_k} \leq 1$，且所有$a_{k,j}>0$，所以可以先得到放缩：
$$\rho(A) = \sum_{j=1}^n a_{k,j} \frac{v_j}{v_k} \leq \sum_{j=1}^n a_{k,j} \cdot 1 = \sum_{j=1}^n a_{k,j} \leq M$$

现在要去掉等号：题目说明行和不全相等，因此特征向量$v$的分量不可能全相等（如果全相等，$Av$的每个分量就是对应行和，这时候谱半径等于行和，与行和不全相等矛盾）。所以在第$k$行的求和中，至少存在一个$j$使得 $\frac{v_j}{v_k} < 1$，而$a_{k,j}>0$，因此求和式严格小于$\sum_{j=1}^n a_{k,j}$。无论$\sum_{j=1}^n a_{k,j}$是否等于$M$，最终都能推出 $\rho(A) < M$。

第二步：证明 $\min_i \sum_{j=1}^n a_{i,j} < \rho(A)$ #

用类似的思路，设 $m = \min_i \sum_{j=1}^n a_{i,j}$，取特征向量$v$中最小的分量 $v_l = \min{v_1, v_2, ..., v_n}$。对第$l$行的等式两边除以$v_l$：
$$\sum_{j=1}^n a_{l,j} \frac{v_j}{v_l} = \rho(A)$$

此时 $\frac{v_j}{v_l} \geq 1$，且所有$a_{l,j}>0$，先得到放缩：
$$\rho(A) = \sum_{j=1}^n a_{l,j} \frac{v_j}{v_l} \geq \sum_{j=1}^n a_{l,j} \cdot 1 = \sum_{j=1}^n a_{l,j} \geq m$$

同样去掉等号：因为行和不全相等，$v$的分量不全相等，所以至少存在一个$j$使得 $\frac{v_j}{v_l} > 1$，结合$a_{l,j}>0$，求和式严格大于$\sum_{j=1}^n a_{l,j}$，最终推出 $\rho(A) > m$。

结论 #

把两步的结果结合起来，就得到了严格不等式：
$$\min_i\sum_{j=1}^{na_{i,j}<\rho(A)<\max_i\sum_{j=1}}na_{i,j}$$

核心思路就是利用正矩阵的正特征向量，结合行和的极值做放缩，再通过“行和不全相等”这个条件打破等号——这是整个证明的关键突破口。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者myapepe