关于满足有界差分条件的伯努利随机变量函数的方差界证明问询

嘿，我正在尝试证明一个关于伯努利随机变量函数方差的不等式，目前卡在了关键步骤上，想请大家给点提示。先把问题背景和我已经完成的推导整理如下：

问题设定 #

• 设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是独立随机变量，每个 $X_j$ 是参数为 $p_j \in [0,1]$ 的伯努利随机变量。
• 函数 $g(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 满足有界差分条件：存在常数 $c_1, c_2, \dots, c_n > 0$，对任意下标 $j$，以及任意的 $x_1,\dots,x_{j-1},x_{j+1},\dots,x_n$，都有：

  $$|g(x_1,\dots, x_{j-1},x_j,x_{j+1}, \dots, x_n) - g(x_1,\dots, x_{j-1},x_j',x_{j+1}, \dots, x_n)| \leq c_j$$
  其中 $x_j'$ 是 $x_j$ 的任意可能取值（或独立拷贝）。

我需要证明的核心不等式是：
$$Var(g(X_1, X_2, \dots, X_n)) \leq \sum_{j=1}^n c_j^2p_j(1-p_j)$$

已完成的推导步骤 #

我已经掌握了一些相关结论并做了初步推导：

1. 对于满足有界差分条件的函数，存在一个基础方差界：
   $$Var(g(x_1,\dots,x_n)) \leq \frac{1}{4} \sum_{j=1}^nc_j2$$
2. 根据Efron-Stein不等式，方差可以被如下估计：
   $$Var(g(x_1,\dots,x_n)) \leq \frac{1}{2} \mathbb{E}\sum_{j=1}^n\bigg( g(x_1,\dots,x_j,\dots ,x_n) - g(x_1,\dots,x_j',\dots ,x_n)\bigg)^2$$
3. 将有界差分条件代入Efron-Stein不等式后，得到了一个比基础界更紧一点的结果：
   $$Var(g(x_1,\dots,x_n)) \leq \frac{1}{2} \mathbb{E}\sum_{j=1}^nc_j2 = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^n c_j^2$$

但问题是，这个结果里缺少了关键的 $p_j(1-p_j)$ 项（也就是伯努利变量 $X_j$ 的方差），我完全不知道该怎么把这个因子融入到推导过程中。

请求提示 #

有没有朋友能给我一个思路提示，告诉我该从哪个方向入手，把 $p_j(1-p_j)$ 加进去，完成这个不等式的证明？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Black Beard 53