寻求可分但非第二可数的局部紧豪斯多夫(LCH)空间中存在非σ紧开集的构造方法与实例

我已经知道，对于第二可数的局部紧豪斯多夫(LCH)空间，它的任意开集都是σ紧的，但我猜测这个结论在可分但非第二可数的LCH空间中并不成立，目前正在尝试构造对应的例子，却遇到了一些问题：

• 最开始我想从不可数集合$X$入手，规定它的闭集都是可数集，这样紧集也必然是可数集，先保证$X$本身不是σ紧的。但这个设定下的开集范围太大了，根本没法满足局部紧豪斯多夫的条件。
• 之后我尝试了一个具体的例子：给实数集$\mathbb{R}$定义拓扑$\tau = {U \mid x \in U, U是任意端点的区间} \cup \varnothing$（这里$x$是$\mathbb{R}$中某个固定点）。这个空间满足可分、非第二可数的要求，但它不是豪斯多夫空间，不符合LCH的定义。
• 我还想过把所有$U^c$加入$\tau$来让它变成豪斯多夫空间，但这样一来$\tau$就不再是拓扑了，这个思路直接走不通。

另外我还在琢磨一个方向：能不能给$\mathbb{R}$设计一种拓扑，让每个紧集都只能包含有限个无理数，这样就能排除σ紧的可能性？

有没有人能给我一个合适的实例，或者告诉我怎么修改我之前的例子来满足要求？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者totallalala