关于交换k-代数包络代数在极大理想处局部化的同构问题

我最近在研究Hochschild-Konstant-Rosenberg定理的Witherspoon证明，过程中遇到了一个关于交换k-代数包络代数局部化的疑问，想和大家探讨一下：

先铺垫一下相关背景：

• 设$k$是一个域，$A$是交换$k$-代数。$A$的包络代数记作$A^e$，定义为$A\otimes_k A^{o$，其中$A}o$是$A$的反代数（不过对于交换代数来说，反代数其实没什么实质区别）。
• 对于$A$的素理想（这里特指极大理想）$P$，局部化是关于乘法集$S=A\setminus P$进行的。局部化在$A$-模范畴上诱导出一个正合函子。另外，如果$B$是$A$-代数，那么$S^{{-1}A$既是$A$-代数，也是自身的代数（$S}{-1}A$-代数）。

我的核心问题是：在证明过程中，我们得到的是关于$(A^{e)_M$的Ext群，但证明需要的是关于$(A_M)}e$的Ext群。所以我想确认——对于$A$的极大理想$M$，是否有同构$(A^e)_M \cong (A_M)^e$成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math.mx