通过定义证明函数序列{fₙ(x)=nx/(1+(nx)²)}在[0,1]上不一致收敛的问题

我明白你现在卡在怎么用定义证不一致收敛的点上，别慌，我们一步步拆解这个问题，把思路理清楚。

首先你已经算出了极限函数$f(x)=0$，这一步是完全正确的——不管$x=0$还是$x∈(0,1]$，当$n→∞$时，$fₙ(x)$的极限都是0。接下来我们的核心目标就是找到符合不一致收敛定义的$\epsilon$，以及对应的$n$和$x$。

先回顾一下不一致收敛的定义要求：

$\exists \epsilon > 0 : \forall N \in \mathbb{N} : \exists n \geq N: \exists x \in [0,1] : |f_n(x)-f(x)| \geq \epsilon$

我们先聚焦$|f_n(x)-f(x)| = \frac{nx}{1+(nx)^{2}$（因为$x∈[0,1]$，所以绝对值可以直接去掉）。我们可以换个变量简化分析：令$t=nx$，那么$t∈[0,n]$，式子就变成$g(t)=\frac{t}{1+t}2}$。

现在我们求$g(t)$的最大值：用均值不等式的话，$1+t^2 \geq 2t$（当且仅当$t=1$时等号成立），所以$\frac{t}{1+t^2} \leq \frac{t}{2t} = \frac{1}{2}$，也就是说$g(t)$的最大值是$\frac{1}{2}$，刚好在$t=1$时取到。

那对应回原变量，$t=nx=1$时，$x=\frac{1}{n}$，而$\frac{1}{n}∈[0,1]$（因为$n∈\mathbb{N}$，所以$\frac{1}{n}≤1$）。这时候$|f_n(\frac{1}{n})| = \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{1+(n \cdot \frac{1}{n})^2} = \frac{1}{2}$。

现在我们就可以构造出定义里需要的元素了：

• 取$\epsilon = \frac{1}{4}$（其实只要是小于$\frac{1}{2}$的正数都可以，比如$\frac{1}{3}$也行）
• 对于任意给定的$N∈\mathbb{N}$，我们取$n=N$（或者任意$n≥N$都可以），然后取$x=\frac{1}{n} = \frac{1}{N}$
• 这时候$|f_n(x)-f(x)| = \frac{1}{2} \geq \frac{1}{4} = \epsilon$，完全满足定义的要求。

这样就严谨地证明了这个函数序列在$[0,1]$上是不一致收敛的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者YahavB