关于双边拉普拉斯逆变换计算与积分路径选择的技术疑问

我最近在研究双边拉普拉斯逆变换的计算，碰到了两个绕不开的困惑，想和大家一起聊聊：

第一个疑问：单极点逆变换的矛盾点 #

我从计算$F(s)=\frac{1}{s+z_0}$（假设$\mathrm{Re}(z_0)>0$，不失一般性）的双边逆变换入手，用梅林公式计算了$F(s)e^{{st}$在$s=-z_0$处的留数，得到结果$f(t)=\mathcal{L}}{-1}{\frac{1}{s+z_0}}=e^{{-z_0t}$。但后来发现，$e}{-z_0t}$的双边拉普拉斯变换其实是没有定义的，正确的应该是用$e^{-z_0t}u(t)$（$u(t)$为单位阶跃函数）才行。

虽然单边拉普拉斯变换能给出符合预期的结果，但我希望让$t$覆盖整个实数轴，这样才能和傅里叶变换建立关联，所以只想讨论双边拉普拉斯变换的情况。这里我就搞不懂了：

上面用双边拉普拉斯变换的计算到底哪里出问题了？是不是有什么我没察觉到的隐藏前提或信息？

第二个疑问：多极点下积分路径选择的意义 #

之后我又研究了$F(s)=\frac{1}{s+z_0}+\frac{1}{s-z_0}$的情况，发现根据梅林公式$f(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\gamma-\mathrm{i}\infty}^{{\gamma+\mathrm{i}\infty}F(s)e}{st}\mathrm{d}s$中选择不同的积分路径$\mathrm{Re}(s)=\gamma$，逆变换的结果会完全不同，得到了三个可能的答案：$f_1(t)=0,\ f_2(t)=e^{-z_0t} $和$f_3(t)=e^{-z_0t}+e{z_0t}$。

这里我又产生了疑问：

$f_1$和$f_2$真的有实际意义吗？积分路径$\gamma$的选择有没有明确的物理或数学层面的解释？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user835469