求证：两个独立同分布二项分布Bi(m,1/M)最小值的期望仅依赖于m/M

嘿，我来帮你梳理下这个问题的思路！首先得夸你一句，你一开始用的那个期望转换公式$\mathbb{E}\min(X,Y)=\sum_{n=0}^m P(\min(X,Y)>n)$非常关键——对于非负整数型随机变量，这个转换能把期望计算转化为生存概率的求和，方向完全没错。

接下来咱们把你的推导再往$\lambda = \frac{m}{M}$上靠一靠：令$\lambda = \frac{m}{M}$，那$\frac{1}{M} = \frac{\lambda}{m}$，$\frac{M-1}{M} = 1 - \frac{\lambda}{m}$，把这两个代入你得到的表达式里，就能把所有项都用$\lambda$和$m$表示：

$$
f(m,M) = \sum_{n=0}^m \left[ 1 - \sum_{k=0}^n \binom{m}{k} \left( \frac{\lambda}{m} \right)^k \left( 1 - \frac{\lambda}{m} \right)^{m-k} \right]^2
$$

到这里你可能会疑惑：这里明明还有$m$啊，怎么说只依赖于$\lambda$？其实这里有个重要的近似规律——当$m$很大时，二项分布$\text{Bi}(m, \frac{\lambda}{m})$会趋近于泊松分布$\text{Poisson}(\lambda)$，这时候里面的求和项（二项分布的累积分布函数）会越来越接近泊松分布的累积分布函数，对应的$P(X>n)$也会趋近于泊松分布的生存概率。这时候整个求和式就会趋近于一个只和$\lambda$有关的极限值：

$$
\lim_{m \to \infty} f(m,M) = \sum_{n=0}^\infty \left[ 1 - F_{\text{Poisson}(\lambda)}(n) \right]^2
$$

这就能解释你的Python模拟结果为什么看起来“不变”了：你取的$\lambda=100/5=20$，本身数值不小，同时$m$的取值（100、200…）也都比较大，这时候二项分布和泊松分布的差异非常微小，再加上模拟本身有误差，就会让你觉得$f(m,M)$完全只依赖于$\lambda$。

不过这里得纠正一个小误解：严格来说，对于有限的$m$，当$\lambda$固定但$m$不同时，$f(m,M)$其实是有微小差别的。比如拿$\lambda=1$的情况举例：

• 当$m=1$、$M=1$时，$X$和$Y$都是恒为1的随机变量，$\mathbb{E}\min(X,Y)=1$；
• 当$m=2$、$M=2$时，$X$和$Y$服从$\text{Bi}(2, 0.5)$，计算可得$\mathbb{E}\min(X,Y)=0.625$，和前者明显不等。

这说明原命题在严格意义上并不成立，而是当$m$和$M$成比例增大（即$\lambda$固定，$m \to \infty$）时，$f(m,M)$会趋近于一个仅依赖于$\lambda$的极限值。

另外你提到的$\mathbb{E}\max(X,Y)$也有类似的规律：因为$\min(X,Y) = X + Y - \max(X,Y)$，而$\mathbb{E}X = \mathbb{E}Y = \lambda$，所以$\mathbb{E}\min(X,Y) = 2\lambda - \mathbb{E}\max(X,Y)$，当$\mathbb{E}\max(X,Y)$趋近于仅依赖$\lambda$的极限时，$\mathbb{E}\min(X,Y)$自然也会如此，这和你的观察完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Keyao Zhan