关于向量空间命题证明及逆否命题逻辑合理性的疑问

最近在啃一个看似简单的向量空间逻辑题，越想越绕，索性把我的思路和困惑整理出来：

首先，我先明确前提：给定向量空间的定义（公理包括加法交换律、加法结合律、加法单位元、加法逆元、数乘单位元、数乘对向量加法的分配律、数乘对实数加法的分配律、数乘结合律），要证明的命题是：

S1：若(a \in \mathbb{R})，(v \in V)且(av = 0)，则(a=0)或(v=0)

我的证明过程 #

我先证了一个引理：

L1：对任意(a \in \mathbb{R})，(a0 = 0)（数乘零向量结果为零向量）
证明步骤：
(a0 = a(0+0) = a0 + a0)（利用零向量的加法恒等性）
两边同时加上(-a0)：(a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0))
化简后得到(0 = a0)，引理得证。

接下来我尝试证明S1，想到了几种思路：

思路1（pf1）：先证单向推导

我先证明了：若(a \neq 0)，则(v=0)

证明步骤：
假设(a \neq 0)，已知(av=0)，两边同时乘以(1/a)得：(1/a \cdot av = 1/a \cdot 0)
由引理L1，右边结果为0；左边利用数乘结合律：((1/a \cdot a)v = 1 \cdot v = v)（数乘单位元性质）
因此(v=0)，单向推导得证。

到这里我就产生了第一个疑问：
Q1：我一直觉得“逆否命题和原命题逻辑等价”，意思是逆否命题没提供新信息，但这里我有点犯嘀咕——如果只证了(a≠0→v=0)，是不是证明就不完整？毕竟要证的是“(a=0)或(v=0)”，难道不需要同时证明(v≠0→a=0)吗？但按逆否逻辑，(a≠0→v=0)的逆否就是(v≠0→a=0)，这俩是等价的？可我总觉得没直接证另一个方向就不踏实。

思路2（pf2）：分情况讨论（排中律直接应用）

直接用排中律：要么(a=0)，要么(a≠0)。

• 若(a=0)，命题S1显然成立；
• 若(a≠0)，则用pf1的结论可得(v=0)，命题S1也成立。
  因此无论哪种情况，S1都成立。

思路3（pf3）：另一种分情况表述

• 当(a=0)时，S1显然为真；
• 当(a≠0)时，通过pf1的推导得出(v=0)，S1依然为真。
  所以S1得证。

更深的困惑：逆否命题的合法性 #

这时候我又产生了第二个疑问：
Q2：虽然知道(a≠0→v=0)的逆否是(v≠0→a=0)，但如果想不用逆否逻辑，直接证明(v≠0→a=0)，好像绕不开再用一次逆否？比如我试着直接推：

假设(v≠0)，则(v=1·v)（数乘单位元性质），而(1·v=(1/b · b)v=1/b·(bv))对任意(b≠0)成立。
这里我想借助L1的逆否：L1是(b·0=0)，它的逆否是“若(bv≠0)则(v≠0)”，但这好像没法直接帮我推出(a=0)。后来我又绕到“若(b≠0)则(bv≠0)”，这其实又是(bv=0→b=0)的逆否，等于又用了逆否逻辑。

这就让我有点别扭——本来想找个不用逆否的方法来验证逆否的合理性，结果还是绕回去了。然后我开始想，逆否命题的合法性是不是依赖于排中律？就是默认每个命题非真即假？我知道在这个向量空间的问题里用排中律完全没问题，但我总忍不住担心：排中律是不是能在所有场景下都适用？

最后我想问：如果我去深挖逆否命题的逻辑原理，能不能解决我的Q1和Q2？有没有什么逻辑相关的内容可以系统学习，帮我缓解这种对排中律和逆否逻辑的不安？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者eugene