关于非平方有理数的实数其平方根为无理数的证明有效性验证问询

嘿，很高兴看到你在实分析课里啃证明这块硬骨头——这可是真正理解数学的必经之路！先给你拍板：你写的这个证明逻辑上完全严谨有效，一点都不是什么“non-proof”，反而非常标准漂亮。

先回顾下你的问题背景：
你正在学习实分析，刚接触证明写作，不确定自己针对以下命题的证明是否合理：

命题：若$x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}{\square}$，则$\sqrt{x}\not\in\mathbb{Q}$
其中$\mathbb{Q}{\square} = {\frac{a^2}{b2}\in\mathbb{Q}\text{ | }(a,b)\in\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash{0})}$

你的证明过程是这样的：

证明：
设$x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}{\square}$，假设$\sqrt{x}\in\mathbb{Q}$
$$\implies \exists(a,b)\in \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash{0}) \text{ s.t. }\sqrt{x} = \frac{a}{b}$$
$$\implies x = \frac{a^2}{b2}, (a,b)\in \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash{0})$$
$$\implies x \in \mathbb{Q}{\square}$$
由此产生矛盾，因此$\sqrt{x} \not \in \mathbb{Q}$

为什么这个证明是对的？ #

你完美运用了反证法的核心逻辑：

1. 先假设原命题的结论不成立（即$\sqrt{x}$是有理数）
2. 顺着这个假设，结合有理数的定义一步步推导，最终得出了和前提$x\notin\mathbb{Q}_{\square}$完全矛盾的结论
3. 矛盾说明原假设错误，因此原命题的结论必然成立

甚至连细节都没毛病：$\mathbb{Q}{\square}$的定义就是所有整数比的平方构成的集合，不管$a$和$b$是否互质，只要它们是整数且$b\neq0$，$\frac{a^2}{b2}$就属于$\mathbb{Q}{\square}$，所以你的推导链完全无懈可击。

如果非要挑点可以优化的小细节，那就是可以在开头提一句“我们采用反证法证明”，让看的人一眼就明白你的证明思路，但这属于锦上添花，不影响证明的有效性。

继续保持这个节奏写证明，你很快就能上手啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PH Herman