仿射同构的凸多面体的面格同构性证明求助

你已经迈出了关键的第一步——证明顶点之间的双射，接下来我们可以沿着这个思路，把面的对应关系建立起来，核心是利用仿射映射的逆映射来构造Q那边的支撑超平面。

首先先明确仿射映射的结构：既然$f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^e$限制在P上是到Q的双射，那么$f$可以写成$f(x) = Ax + b$，其中$A$是$e \times d$矩阵，$b \in \mathbb{R}^e$，而且因为$f$是双射，$A$一定是单射（否则会有不同的点被映射到同一点），同时P和Q的仿射维数必然相等（仿射映射保持仿射维数），所以$d=e$，$A$是可逆方阵，因此$f$存在仿射逆映射$g: \mathbb{R}^e \to \mathbb{R}^d$，满足$g(y) = A^{-1}(y - b)$。

现在来看你提到的P的任意一个面$F = P \cap H$，其中$H = {x \in \mathbb{R}^d \mid cx = c_0}$，且对所有$x \in P$有$cx \leq c_0$（$c$是行向量）。我们要构造Q的一个支撑超平面，使得$f(F)$是Q与这个超平面的交集：

1. 把P上的不等式转化到Q的空间：对于任意$y \in Q$，存在唯一的$x \in P$使得$y = f(x)$，也就是$x = g(y)$。那么$cx \leq c_0$就等价于$c(g(y)) \leq c_0$。
2. 展开这个式子：$c(g(y)) = cA^{-1}y - cA^{-1}b$，令$d = cA^{{-1}$（这是$\mathbb{R}}e$中的行向量），$d_0 = c_0 + cA^{-1}b$，那么上面的不等式就变成$dy \leq d_0$，而且这个不等式对所有$y \in Q$都成立（因为对应的$x=g(y)$满足$cx \leq c_0$）。
3. 验证$f(F)$是Q的面：$f(F) = {f(x) \mid x \in P, cx = c_0} = {y \in Q \mid dy = d_0}$（因为$cx=c_0$等价于$dy=d_0$，由上面的等式变形可得）。而我们已经知道$dy \leq d_0$对所有$y \in Q$成立，所以$f(F) = Q \cap {y \in \mathbb{R}^e \mid dy = d_0}$，这完全符合Q的面的定义！

接下来要证明这个对应是格同构：

• 双射性：因为$f$是双射，它的逆映射$g$会把Q的每个面$G$映射到P的一个面$g(G)$（用同样的方法，把Q的支撑超平面转化为P的支撑超平面），而且$f(g(G))=G$，$g(f(F))=F$，所以面之间的对应是双射。
• 保持包含关系：如果P的两个面$F_1 \subseteq F_2$，显然$f(F_1) \subseteq f(F_2)$；反过来，Q的两个面$G_1 \subseteq G_2$，则$g(G_1) \subseteq g(G_2)$，这就保持了面格的偏序关系。
• 保持格运算：面格的交是两个面的交集（非空时），因为$f$是单射，$f(F_1 \cap F_2) = f(F_1) \cap f(F_2)$；而面格的并是包含两个面的最小面，由于$f$是满射，包含$f(F_1),f(F_2)$的最小面的原像就是包含$F_1,F_2$的最小面，所以并运算也被保持。

你之前证明的顶点双射其实是这个结论的特例——顶点是0维面，仿射映射保持维度，所以0维面的像还是0维面，完美对应起来。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HigherMoonTheory