GAM预测器结构：矩阵与长数据框格式拟合结果差异问询

模型与数据背景 #

我正在拟合一个典型的带滞后结构的GAM，模型基本形式为：

g1 <- gam(y~te(e, l), data=df)

数据生成代码 #

# 暴露变量
e <- matrix(rnorm(2500, mean = 100, sd = 25), ncol=50)

# 滞后变量
l <- matrix(rep(seq(49,0),50), ncol = 50, byrow=T)

# 响应变量y：暴露e按滞后权重求和（GAM需要拟合的目标）
we <- matrix(sample(seq(0.01, 0.5, 0.02),2500, replace = T), ncol = 50, byrow=T) # 随机权重
ex <- e*we # 按滞后加权后的暴露

df <- data.frame(y=apply(ex, 1, FUN = sum)) # 响应变量

上述数据组织方式遵循S.Wood所著《Generalized Additive Models: an introduction in R》中的建议。

宽格式数据的GAM拟合结果 #

Family: gaussian 
Link function: identity 

Formula:
y ~ te(e, l)

Parametric coefficients:
        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  1267.97      12.63   100.4   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Approximate significance of smooth terms:
      edf Ref.df     F p-value   
te(e,l) 2.605  3.054 4.808 0.00512 **
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Rank: 24/25
R-sq.(adj) =  0.208   Deviance explained =   25%
GCV =   8595  Scale est. = 7975.3    n = 50

长格式数据的转换与拟合结果 #

将数据转换为长格式：

df <- data.frame(l=rep(seq(0,49),each=50), e=c(e[,seq(50,1)]), y=rep(y$y, 50))

对应的GAM输出：

Formula:
y ~ te(e, l)

Parametric coefficients:
        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 1267.966      1.984   639.2   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Approximate significance of smooth terms:
     edf Ref.df     F p-value  
te(e,l) 4.11  4.848 2.215  0.0448 *
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

R-sq.(adj) =  0.00337   Deviance explained = 0.501%
GCV = 9858.2  Scale est. = 9838.1    n = 2500

核心疑问 #

无论当前拟合结果好坏，我想知道为什么将数据组织为长数据框格式后，GAM的拟合结果会出现如此明显的差异？

若问题较为基础，深表歉意，但我非常希望得到相关反馈及参考资料以更好地理解这一点。谢谢。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者monviso