二维矩阵中实值函数g(z,w)定位的条件验证咨询

我有两个一维实网格（数组）x(i)和y(j)，其中i,j=1,2,…,n。所有网格组合对应的实值函数f(x(i),y(j))被存储在一个n×n矩阵中。现在要定位实值函数g(z,w)，假设它位于矩阵内未知坐标(z,w)对应的某个方块中，该方块的四个顶点为矩阵中的四个相邻元素，图示如下：

f(x(i),y(j)) - - - f(x(i),y(j+1))
       |                    |
       |       g(z,w)       |
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f(x(i+1),y(j)) - - - f(x(i+1),y(j+1))

核心疑问 #

1. 必要条件是什么？ 确保g(z,w)处于上述方块中的必要条件有哪些？
2. 现有条件是否足够？ 当满足f(x(i),y(j)) < f(x(i),y(j+1))且f(x(i),y(j)) < f(x(i+1),y(j))时，我提出以下两个条件：
   • f(x(i),y(j)) < g(z,w) < f(x(i),y(j+1))
   • f(x(i),y(j)) < g(z,w) < f(x(i+1),y(j))
     这两个条件能否保证g(z,w)处于目标方块？是否需要补充或替换条件？
3. 非递增情况的适配 若f是单调递减（仅符号相反），上述条件是否依然成立？
4. 单调假设下的简化 若假设f(x(i),y(j))在x、y方向均单调递增（即f(x(i),y(j)) < f(x(i),y(j+1))、f(x(i),y(j)) < f(x(i+1),y(j))且f(x(i),y(j)) < f(x(i+1),y(j+1))），或均单调递减（即f(x(i),y(j)) > f(x(i),y(j+1))、f(x(i),y(j)) > f(x(i+1),y(j))且f(x(i),y(j)) > f(x(i+1),y(j+1))），那么仅验证f(x(i),y(j)) < g(z,w) < f(x(i+1),y(j+1))（或递减时的反向不等式）是否足够定位g(z,w)在目标方块中？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Camillus