在线梯度下降证明中有限求和的等价推导疑问
兄弟，我太懂你这种卡住的感觉了——本来以为是标准的望远镜求和，结果突然冒出来一个额外的求和项，确实让人摸不着头脑。咱们一步一步拆解，就能搞清楚这个项的来源了。
首先，你犯了一个很容易忽略的小错误：你在展开原始求和式的时候，错误地把每个项里的$\frac{1}{2\eta_1}$换成了$\frac{1}{2\eta_t}$，这才导致你误以为是望远镜求和。咱们先把原始求和式老老实实地展开，别套模板：
原始求和式是：
$$\sum_{t=1}T\Big(\frac{1}{2\eta_1}||x_t-u||2 - \frac{1}{2\eta_t}||x_{t+1}-u||^2\Big)$$
咱们一项一项写出来：
- 当$t=1$时：$\frac{1}{2\eta_1}||x_1-u||^2 - \frac{1}{2\eta_1}||x_2-u||^2$
- 当$t=2$时：$\frac{1}{2\eta_1}||x_2-u||^2 - \frac{1}{2\eta_2}||x_3-u||^2$
- 当$t=3$时：$\frac{1}{2\eta_1}||x_3-u||^2 - \frac{1}{2\eta_3}||x_4-u||^2$
- ...
- 当$t=T$时：$\frac{1}{2\eta_1}||x_T-u||^2 - \frac{1}{2\eta_T}||x_{T+1}-u||^2$
现在把所有项加起来，整理同类项：
- 只有$||x_1-u||2$的项只出现一次：$\frac{1}{2\eta_1}||x_1-u||2$
- 只有$||x_{T+1}-u||2$的项只出现一次：$-\frac{1}{2\eta_T}||x_{T+1}-u||2$
- 中间的$||x_2-u||2$、$||x_3-u||2$...$||x_T-u||^2$这些项，每个都会被两个系数组合：
对于$2 \leq k \leq T$的$||x_k-u||2$，它来自两部分：$t=k$时的$\frac{1}{2\eta_1}||x_k-u||2$，以及$t=k-1$时的$-\frac{1}{2\eta_{k-1}}||x_k-u||^2$
把这些组合起来，求和式就变成：
$$\frac{1}{2\eta_1}||x_1-u||^2 - \frac{1}{2\eta_T}||x_{T+1}-u||^2 + \sum_{k=2}^T \left( \frac{1}{2\eta_1} - \frac{1}{2\eta_{k-1}} \right)||x_k-u||^2$$
接下来，把求和变量$k$换成$t+1$（这样$k$从2到T就对应$t$从1到T-1），上式就变成：
$$\frac{1}{2\eta_1}||x_1-u||^2 - \frac{1}{2\eta_T}||x_{T+1}-u||^2 + \sum_{t=1}^{T-1} \left( \frac{1}{2\eta_1} - \frac{1}{2\eta_t} \right)||x_{t+1}-u||^2$$
你给出的证明结果和这个有点差异，大概率是原始求和式存在笔误（比如把$\frac{1}{2\eta_t}$写成了$\frac{1}{2\eta_1}$），但核心逻辑是一样的：那个额外的求和项来自于中间项的系数合并，而不是望远镜求和的抵消——因为你一开始误以为每个项的第一个系数是随t变化的$\eta_t$，但实际上它是固定的$\eta_1$，所以中间项无法完全抵消，只能合并成新的求和项。
如果原始求和式的第一个系数本来就是$\frac{1}{2\eta_t}$（这才是在线梯度下降证明里的常见形式），那就是标准的望远镜求和：
$$\sum_{t=1}T\Big(\frac{1}{2\eta_t}||x_t-u||2 - \frac{1}{2\eta_{t+1}}||x_{t+1}-u||^2\Big) = \frac{1}{2\eta_1}||x_1-u||^2 - \frac{1}{2\eta_{T+1}}||x_{T+1}-u||^2$$
总结一下：你一开始的错误是错误地展开了求和式，把固定的$\eta_1$当成了随t变化的$\eta_t$，以为能望远镜抵消，但实际上中间项的系数无法抵消，只能合并成那个额外的求和项。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者tonythestark
