概率问题两种解法结果不符，求第一种解法的错误原因

先明确问题背景：

一个帽子里有40张纸条，1到10每个数字各出现4次。随机不放回抽4张，求抽到2张数字a和2张数字b（a≠b）的概率。

两种解法回顾 #

解法一（错误） #

你的思路是分步抽取：

• 先抽一张作为a，40种选择
• 再抽一张a，剩下3种选择
• 接着抽一张非a的作为b，36种选择
• 最后抽一张b，剩下3种选择
• 概率计算为：$\dfrac{40 \cdot 3 \cdot 36 \cdot 3}{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37} = \dfrac{54}{9139}$

解法二（正确） #

用组合数计算：

• 从10个数字里选2个不同的数a和b：$\binom{10}{2}$种
• 从每个数字的4张纸条里各选2张：$\binom{4}{2} \times \binom{4}{2}$种
• 总符合条件的组合数：$\binom{10}{2} \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{2}$
• 总抽取组合数：$\binom{40}{4}$
• 概率计算为：$\dfrac{\binom{10}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2}}{\binom{40}{4}} = \dfrac{162}{9139}$

解法一的错误根源 #

核心问题是：你只计算了符合条件的抽取顺序中的一小部分，漏掉了大部分情况！

举个简单的例子：假设我们要抽两张1和两张2，你的解法只算了「先抽两张1，再抽两张2」或者「先抽两张2，再抽两张1」这两种顺序，但实际上，符合条件的抽取顺序还有很多：

• 1,2,1,2
• 1,2,2,1
• 2,1,1,2
• 2,1,2,1

这前后加起来一共6种不同的抽取顺序（计算方式：$\frac{4!}{2! \times 2!} = 6$，也就是4个位置中选2个放1，剩下的放2的组合数），而你的解法只覆盖了其中2种。

你的分母用的是所有有序抽取的总数（40×39×38×37），这没问题，但分子只算了其中2种顺序的情况数，漏掉了另外4种，所以最终结果只有正确答案的$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$，正好对应$\frac{54}{9139} \times 3 = \frac{162}{9139}$。

换个直白的说法：如果想用分步乘法（排列思路）得到正确结果，你需要把所有6种可能的数字排列顺序都算进去，而不是只盯着「先抽完同数字再抽另一个」的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者py_math