求助证明当ℜ(s)>1时，log(s)=∫₀^∞(e⁻ᵗ - e⁻ˢᵗ)t⁻¹dt的推导问题
嗨，Miranda！你碰到的问题其实是典型的「发散积分不能随意拆分」的误区，我来帮你梳理正确的推导思路，顺便纠正你之前的错误~
先说说你之前的问题
- 你一开始把积分拆成$\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{-1}dt + \int_{0}^{\infty} e^{-st} t^{-1}dt$是完全错误的：这两个积分各自在$t \to 0+$时都是发散的（比如$\int_0\epsilon t^{-1}dt$的结果是$\ln\epsilon$，当$\epsilon\to0$时趋向负无穷），所以不能单独拆分计算，必须把它们当作一个整体来处理。
- 你后来的改写$\int_{0}^{\infty} \frac{e{-1}e{t} - e^{-s} e^{t}}{t} dt$明显是计算失误，原式是$e^{-t} - e{-st}$，和你写的$e{-1}e^t - e{-s}et$完全不是一回事，这个错误变形自然会导致发散的结果，要注意指数运算的正确性哦。
正确推导方法一：含参积分求导法
我们定义含参积分$F(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t} - e^{-at}}{t}dt$，其中$\Re(a) > 1$（对应题目里的$s$）。
对参数$a$求导：
根据莱布尼茨积分法则（因为积分在$\Re(a) \geq 1+\delta$（$\delta>0$）上一致收敛，满足求导和积分交换顺序的条件），我们可以对$F(a)$关于$a$求导：
$$
F'(a) = \frac{d}{da}\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t} - e^{-at}}{t}dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{e^{-t} - e^{-at}}{t}\right)dt
$$
计算偏导数：$\frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{-e^{-at}}{t}\right) = e^{-at}$，因此：
$$
F'(a) = \int_{0}^{\infty} e^{-at}dt
$$
这个积分在$\Re(a) > 0$时收敛，结果为$\frac{1}{a}$，因为：
$$
\int_{0}^{\infty} e^{-at}dt = \left[-\frac{e{-at}}{a}\right]_0\infty = \frac{1}{a}
$$积分求原函数：
我们知道$F(1) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t} - e^{-t}}{t}dt = 0$，所以对$F'(a)$从$1$到$a$积分：
$$
F(a) = \int_{1}^{a} F'(x)dx + F(1) = \int_{1}^{a} \frac{1}{x}dx + 0 = \log(a) - \log(1) = \log(a)
$$
把$a$换成$s$，就得到题目要证明的等式：
$$
\log(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t} - e^{-st}}{t}dt
$$
正确推导方法二：Frullani积分公式
如果熟悉Frullani积分的话，这个问题可以直接套用公式：
Frullani积分的一般形式是：
$$
\int_{0}^{\infty} \frac{f(at) - f(bt)}{t}dt = [f(0) - f(\infty)]\log\left(\frac{b}{a}\right)
$$
这里我们令$f(x) = e^{-x}$，满足：
- $f(x)$在$x \geq 0$上连续；
- $f(0) = e^{0} = 1$，$f(\infty) = \lim_{x\to\infty}e^{-x} = 0$；
代入公式，取$a=1$，$b=s$，则：
$$
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t} - e^{-st}}{t}dt = (1 - 0)\log\left(\frac{s}{1}\right) = \log(s)
$$
这个方法更快捷，但要注意Frullani积分的适用条件，这里完全满足，所以可以直接使用。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Miranda
