求满足特定条件的所有连续实函数

嘿，你已经迈出了超棒的第一步——证明$f(0)=0$的过程完全正确！接下来咱们一步步把剩下的逻辑补全，验证你猜想的线性函数$f(x)=mx$确实是唯一满足条件的解。

第一步：证明$f$是奇函数 #

首先咱们先确认$f$是奇函数，也就是$f(-x) = -f(x)$对所有实数$x$都成立：

• 对任意非零实数$x$，取$a=x$，$b=-\frac{x}{2}$，$c=-\frac{x}{2}$，这三个数都是非零的，而且刚好满足$a+b+c = x - \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = 0$。
• 根据题设条件，可得$f(x) + f\left(-\frac{x}{2}\right) + f\left(-\frac{x}{2}\right) = 0$，也就是$f(x) = -2f\left(-\frac{x}{2}\right)$。
• 令$z = -\frac{x}{2}$，则$x = -2z$，代入上式得到$f(-2z) = -2f(z)$。结合你之前推出的$f(2x) = -2f(-x)$，把$x$换成$z$就能得到$f(2z) = -2f(-z)$，对比两个式子就能推出$f(-z) = -f(z)$。
• 当$x=0$时，$f(0)=0=-f(0)$，显然成立。所以$f$是奇函数。

第二步：证明$f$满足加法性质$f(x+y)=f(x)+f(y)$ #

接下来咱们验证$f$是加法函数：

• 若$x,y$都不为零且$x+y \neq 0$，取$a=x$，$b=y$，$c=-(x+y)$，这三个数都是非零的，且$a+b+c=0$。根据题设条件：
  $$f(x) + f(y) + f(-(x+y)) = 0$$
  因为$f$是奇函数，$f(-(x+y)) = -f(x+y)$，代入上式后整理可得：
  $$f(x+y) = f(x) + f(y)$$
• 若$x+y=0$（也就是$y=-x$），则$f(x+y)=f(0)=0$，而$f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0$，等式成立。
• 若其中一个数是0（比如$x=0$），则$f(0+y)=f(y)=f(0)+f(y)=0+f(y)$，等式也成立。

第三步：利用连续性推出$f(x)=mx$ #

现在我们已经证明$f$是连续的加法函数（也就是柯西函数），而连续的柯西函数只有线性形式：
$$f(x) = mx$$
其中$m$是任意实数常数。这是柯西方程的经典结论——连续这个条件足以把柯西方程的解限制为线性函数。

最后反过来验证一下：如果$f(x)=mx$，那么对任意满足$a+b+c=0$的非零实数$a,b,c$，有$f(a)+f(b)+f(c)=ma+mb+mc=m(a+b+c)=m\cdot0=0$，完全符合题设条件。

所以最终，满足条件的所有连续函数就是所有形如$f(x)=mx$的线性函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lord Vader