关于两类特殊实值可导函数存在性的技术问询

嘿，这个问题挺有意思的——咱们来一步步拆解这两个特殊的函数例子，正好都是实分析里经典的“反直觉”构造：

1. 连续可导（C¹）但处处不可二次可导（D²无处）的函数 #

我们可以从经典的魏尔斯特拉斯函数出发构造：

• 魏尔斯特拉斯函数 ( W(x) ) 是一个处处连续、但处处不可导的实值函数，这是实分析里最著名的“反直觉”例子之一。
• 定义 ( f(x) = \int_0^x W(t) dt )，也就是魏尔斯特拉斯函数的不定积分：
  • 首先，因为 ( W(t) ) 连续，根据微积分基本定理，( f(x) ) 是可导的，且 ( f'(x) = W(x) )；又因为 ( W(x) ) 连续，所以 ( f(x) \in C^1(\mathbb{R}) )。
  • 但 ( W(x) ) 处处不可导，这就意味着 ( f'(x) ) 处处不可导——换句话说，( f(x) ) 是处处不存在二阶导数的，也就是题目要求的“D²无处”的C¹函数。

2. 处处二次可导（D²处处）但无处二次连续可导（C²无处）的函数 #

这个构造需要用到“可导但导数不连续”的函数的推广：

• 首先，我们知道存在这样的函数 ( h(x) )：( h(x) ) 处处可导，但它的导数 ( h'(x) ) 是处处不连续的（这类函数可以通过类似Volterra函数的构造思路，在稠密集上逐点构造不连续的导数）。
• 定义 ( g(x) = \int_0^x h(t) dt )：
  • 根据微积分基本定理，( g'(x) = h(x) )，而 ( h(x) ) 处处可导，所以 ( g''(x) = h'(x) ) 是处处存在的——也就是 ( g(x) ) 处处D²。
  • 但 ( h'(x) ) 处处不连续，这就意味着 ( g''(x) ) 在实数轴上的每一点都不连续，所以 ( g(x) ) 是无处C²的，完美符合要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan Asimov