关于证明满足A⁶⁴=A²⁷=I的矩阵A等于单位矩阵I的技术咨询

嘿，我来帮你理顺这个证明思路！你提到用特征值的方向其实是对的，但不用硬去因式分解$A^{64}-I$，咱们可以结合数论里的小技巧，把问题简化很多。

核心推导步骤： #

• 首先，回忆特征值的基本性质：如果$\lambda$是矩阵$A$的任意一个特征值，那么根据$A^{64}=I$和$A{27}=I$，必然有$\lambda^{{64}=1$且$\lambda}{27}=1$。
• 接下来关键的一步：注意到64和27是互质的（它们的最大公约数$\gcd(64,27)=1$）。根据数论里的贝祖定理，存在整数$m$和$n$，使得$64m + 27n = 1$。比如通过扩展欧几里得算法可以算出$m=-8$，$n=19$，因为$64\times(-8) + 27\times19 = -512 + 513 = 1$。
• 利用这个等式来推导$\lambda$的值：
  $$
  \lambda = \lambda^1 = \lambda^{64m + 27n} = (\lambda^{64})m \cdot (\lambda^{27})n
  $$
  代入$\lambda^{{64}=1$和$\lambda}{27}=1$，就得到$\lambda = 1^m \cdot 1^n = 1$。这说明$A$的所有特征值都是1。
• 最后看极小多项式：矩阵$A$的极小多项式必须同时整除$x^{64}-1$和$x{27}-1$。而这两个多项式的最大公因式是$x-1$（因为它们的公共根只有1，且重数为1），所以$A$的极小多项式就是$x-1$，这意味着$A - I = 0$，也就是$A=I$。

你之前尝试的因式分解方法之所以繁琐，是因为$x^{64}-1$分解后项数太多，但用互质的性质直接约束特征值，再结合极小多项式的结论，整个证明就清晰很多啦，完全不用绕到相似性的方向上去~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kantig Shoter